[教育]第2章 现代控制理论1.ppt

方法三：拉氏变换法 可得 2.4.3 方法三：拉氏变换法 为了求出 ，关键是必须首先求出 (sI-A) 的逆。一般来说，当系统矩阵A 的阶次较高时，可采用递推算法求逆。 [例2.4] 考虑如下矩阵A 试用前面介绍的两种方法计算 。 [解]： 方法一 由于A 的特征值为0和-2（λ1=0，λ2= -2），故可求得所需的变换矩阵为 方法二 由于 * 第二章 线性控制系统的运动分析 2.1 线性连续系统状态方程的解 2.2 状态转移矩阵的性质 2.3 向量矩阵分析中的若干结果 2.4 矩阵指数函数的计算 2.5 线性时变系统状态方程的解 2.6 线性离散系统状态方程的解 2.7 线性连续系统状态方程的离散化 在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分析，即线性状态方程的求解。对于线性定常系统，为保证状态方程解的存在性和唯一性，系统矩阵A和输入矩阵B中各元必须有界。一般来说，在实际工程中，这个条件是一定满足的。 2.1 线性连续系统状态方程的解 给定线性定常系统非齐次状态方程为 且初始条件为: 比较一阶常微分方程求解： 方法一：解析法 同样，将方程（2.1）写为 在上式两边左乘 ，可得： ?将上式由 0 积分到 t ，得 故可求出其解为： 式中 为系统的状态转移矩阵。 类似可求出其解为 对于线性时变系统非齐次状态方程， 一般说来，线性时变系统的状态转移矩阵 只能表示成一个无穷项之和，只有在特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。 方法二：幂级数法 对一阶齐次常微分方程 代入上式得： 于是有： 对一阶齐次向量微分方程 按照类似的方法可得： 对一阶非齐次向量微分方程 对一阶常微分方程 对上式两边进行拉氏逆变换，并利用卷积积分可得 进行拉氏变换，可得： 对式 2.2 状态转移矩阵的性质：时不变系统 时不变系统状态转移矩阵 是满足如下矩阵微分方程和初始条件的解,这也是检验一个矩阵是不是状态转移的条件。 （2.5） [定义2.1]定义 或 为系统的状态转移矩阵，记为 或 2.2 状态转移矩阵的性质：时变系统 [定义2.2] 时变系统状态转移矩阵 是满足如下矩阵微分方程和初始条件 （2.6） 的解，X(t)=Ф (t, t0)X(0) 。 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质： 4、当A给定后， 唯一 5、计算时变系统状态转移矩阵的公式 上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地，只有当满足 即在矩阵乘法可交换的条件下， 才可表示为如下矩阵指数函数形式 (2.6b) 显然，定常系统的状态转移矩阵 不依赖于初始时刻 ，其性质仅是上述时变系统的特例。 [例2.1] 试求如下线性定常系统 的状态转移矩阵 和状态转移矩阵的逆 。 [解] 对于该系统， 其状态转移矩阵由下式确定 由于 其逆矩阵为 = 由于 ，故可求得状态转移矩阵的逆为 [例2.2] 求下列系统的时间响应： 式中， 为 时作用于系统的单位阶跃函数，即 。 [解] 对该系统 状态转移矩阵 已在例2.1中求得，即 2.3 向量矩阵分析中的若干结果 本节将补充介绍在2.4节中将用到的有关矩阵分析中一些结果，即着重讨论Caley-Hamilton定理和最小多项式。 2.3.1凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理 凯莱-哈密尔顿定理：设 n?n 维矩阵A及其特征方程为 则矩阵A满足其自身的特征方程 证明：注意到 的伴随矩阵 是 次多项式 ，即 式中 一个例证，如： 从上式可看出， 和 (i=1,2,…，n)相乘的次序是可交换的。因此，如果 及其伴随矩阵 中有一个为零，则其乘积为零。如果在上式中用 代替λ， 显然 为零。 式中 上式表明：An 可以表为 An-1 、 An-2、。。。 、I