[教育]第3章 动态规划.ppt

* 算法设计与分析 * 将由{a1, a2, …, an}构成的二叉有哪些信誉好的足球投注网站树记为T(1, n)，其中ak（1≤k≤n）是T(1, n)的根结点，则其左子树T(1, k-1)由{a1, …, ak-1}构成，其右子树T(k+1, n)由{ak+1, …, an}构成。 证明最优二叉有哪些信誉好的足球投注网站树满足最优子结构特性 ak T(1, n) 以ak为根的二叉有哪些信誉好的足球投注网站树 T(k+1,n) T(1,k-1) 若T(1, n)是最优二叉有哪些信誉好的足球投注网站树，则其左子树T(1, k-1)和右子树T(k+1, n)也是最优二叉查找树。如若不然，假设T’(1, k-1)是比T(1, k-1)更优的二叉有哪些信誉好的足球投注网站树，则T’(1, k-1)的平均比较次数小于T(1, k-1)的平均比较次数，从而由T’(1, k-1)、ak和T(k+1, n)构成的二叉有哪些信誉好的足球投注网站树T’(1, n)的平均比较次数小于T(1, n)的平均比较次数，这与T(1, n)是最优二叉有哪些信誉好的足球投注网站树的假设相矛盾。 * 算法设计与分析 * 分析 设T(i,j)是由记录{ai,…,aj}(1≤i≤j≤n)构成的二叉有哪些信誉好的足球投注网站树，C(i,j)是这棵二叉有哪些信誉好的足球投注网站树的平均比较次数。虽然最后的结果是C(1,n)，但遵循动态规划法的求解方法，需要求出所有较小子问题C(i,j)的值，考虑从{ai,…,aj}中选择一个记录ak作为二叉有哪些信誉好的足球投注网站树的根结点，可以得到如下关系： 此结论为只考虑元素查找成功的情况！ * 算法设计与分析 * 定义w(i,j)如下： 则二叉有哪些信誉好的足球投注网站树的平均有哪些信誉好的足球投注网站代价cost(T)为（左、右子树的平均有哪些信誉好的足球投注网站代价分别为cost(L)和cost(R)）： 考虑到查找成功与不成功的期望耗费 * 算法设计与分析 * 对于n个元素的集合{a1, a2, …, an} ，设C(0,n)是构造这个集合最优二叉有哪些信誉好的足球投注网站树的代价： * 算法设计与分析 * 因此，对于一般的C(i,j)得到如下动态规划函数： C(i, i-1)=0 (1≤i≤n+1) 式1 C(i, i)=pi (1≤i≤n) 式2 C(i, j)=min{C(i, k-1)+C(k+1, j)+w(i,j)} (1≤i≤j≤n, i≤k≤j) =min{C(i, k-1)+C(k+1, j)}+w(i,j) (1≤i≤j≤n, i≤k≤j) 式3 C(i, k-1)和C(k+1, j)分别是左右子树的最优平均有哪些信誉好的足球投注网站代价。 设一个二维表C[n+1][n+1]，其中C[i][j]表示二叉有哪些信誉好的足球投注网站树T(i, j)的平均比较次数。注意到在式3中，当k=1时，求C[i][j]需要用到C[i][0]，当k=n时，求C[i][j]需要用到C[n+1][j]，所以，二维表C[n+1][n+1]行下标的范围为1～n+1，列下标的范围为0～n。 为了在求出由{a1, a2, …, an}构成的二叉有哪些信誉好的足球投注网站树的平均比较次数的同时得到最优二叉有哪些信誉好的足球投注网站树，设一个二维表R[n+1][n+1]，其下标范围与二维表C相同，R[i][j]表示二叉有哪些信誉好的足球投注网站树T(i, j)的根结点的序号。 * 算法设计与分析 * 例如，集合{A, B, C, D}的有哪些信誉好的足球投注网站概率是{0.1, 0.2, 0.4, 0.3}，二维表C和R的初始情况如图所示。 ? 0 1 2 3 4 1 0 0.1 ? ? ? 2 ? 0 0.2 ? ? 3 ? ? 0 0.4 ? 4 ? ? ? 0 0.3 5 ? ? ? ? 0 ? 0 1 2 3 4 1 ? 1 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? 3 ? 4 ? ? ? ? 4 5 ? ? ? ? ? C(i, i-1)=0 (1≤i≤n+1) 式1 C(i, i)=pi (1≤i≤n) 式2 C(i, j)=min{C(i, k-1)+C(k+1, j)+w(i,j)} (1≤i≤j≤n, i≤k≤j) =min{C(i, k-1)+C(k+1, j)}+w(i,j) (1≤i≤j≤n, i≤k≤j) 式3 0.4 2 0.8 3 1.0 3 1.1 3 1.4 3 1.7 3 * 算法设计与分析 * 在二维表C和R中只需计算主对角线以上的元素。 首先计算C(1, 2)： 在前两个记录构成的最优二叉有哪些信誉好的足球投注网站树的根结点的序号是2。