[教育]第五章 不定积分.ppt

例9 求不定积分 解 一些常用的微分式： 在用第一换元积分法时常用的凑微分法,即凑中间变量法有 第一换元积分法是选择新的积分变量 ，但对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令 ，把作为新的积分变量，才能积出来．即 这种方法叫做第二换元积分法． 5.2.2 第二换元积分法 使用第二换元积分法的关键是恰当地选择变换 ．对于 ，要求其单调、可导，且其反函数 存在． 例1 求不定积分 则 代入后，得 解 为消去根式，令 即 可以看出：若被积函数中含有一个被开方式为一次式的根式 时，令 ，可以消去根式，从而求得积分． 三角函数代换法—若被积函数含有被开方式为二次式的根式时，可使用三角代换消去根式． 一般地，当被积函数含有 （1） ，可作代换 ； （2） ，可作代换 ； （3） ，可作代换 ． 例2 求不定积分 令 于是 解 由 得 及 所以 例3 求不定积分 解 令 则 ． 由 得 ， 于是 故 在本节例题中,有些不定积分的结果以后会经常用到,可作为基本积分公式引用. 证明: 由公式 §4.3 分部积分法 分部积分公式也可写成: 得 对上式两边积分,并应用不定积分的性质3及性质2 即得分部积分公式 定理 设函数具有连续的导数，则有下列 分部积分公式： 分部积分公式的意义在于,它可以将求 的积分问题转化为求 的积分，当后者容易求出时，分部积分公式就起到了化难为易的作用． 运用好分部积分法的关键是恰当地选择好 和 其选择原则： (1)要从 中容易求得 ； (2) 要比 容易积出． 例１ 求不定积分 例2 求不定积分 解: 例3 求不定积分 解 : 解: 例4 求不定积分 解 : 注意: 该例表明，有时要多次使用分部积分法，才能求出积分结果． (2) 此时选 lnx, arcsinx, arctanx为u,当分部积分时,需对其求微分,使之变成有理函数或二次根式. 使用分部积分的常见题型有: (1) 此时选u=xn,通过分部积分,使xn降幂. （3） 其中 为常数） 可设 练习 求下列不定积分: 解 (4) 将再次出现的 移到左端，并合并后除 例5 求不定积分 解 : 以2,得所求积分为 例5的求解，用两次分部积分后出现了“循环现象”，这时所求积分可用解方程的方法求得． 解：令 ，则 ．因此 例6 求不定积分 性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面. 注意：以上各不定积分是基本积分公式，它是求不定积分的基础，必须熟记，并会用公式和性质求一些简单函数的不定积分． 最简无理函数代换法 前面讨论的凑微分法是对应于复合函数求导法的积分方法.本节介绍对应于乘积求导公式的积分方法. 经济数学基础 第五章 不定积分 5.1 不定积分的概念与性质 5.2 换元积分法 5.3