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* 上页 下页 返回 第一节 向量组及其线性组合 向量及向量组的定义 主要内容 向量组等价的概念及判定条件 线性组合的概念 定义1：n 个有次序的数 a1 , a2 , ··· , an 所组成的数组 称为 n 维向量,第i个数ai称为第i个分量. 一、向量及向量组的定义 1. 向量的定义 n维向量可写成一行,也可写成一列,分别称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵, 规定:向量按矩阵的运算规则进行运算. 2. 向量组的定义 是一个由四个向量 构成的向量组. 定义:若干个同维数的向量组成的集合叫做向量组. 例如 3、向量组与矩阵的关系 对于一个 m×n 矩阵 A = (aij) : 则矩阵 A 有 n 个 列向量 . 称为矩阵 A 的列向量组. 向量组 a1, a2, ··· , an ?1T, ?2T, ··· , ?mT 称为矩阵 A 的行向量组. 同理： A 有 m 个行向量, 它们组成的向量组 例如： 可以构成一个3×4的矩阵。 反之, 由有限个向量所组成的向量组可构成一个矩阵. 综上所述, 一个矩阵与一个列向量组(或行向 量组)一一对应. 1. 定义 称为这个线性组合的系数. 称为向量组 A 的一个线性组合, k1a1 + k2a2 + ··· + kmam 实数 k1 , k2 , ··· , km ,表达式 定义2 给定向量组 A: a1 , a2 , ··· , am , 对于任意一组 k1 , k2 , ··· , km 称 二、线性组合的概念 给定向量组 A: a1 , a2 , ··· , am 和向量 b, 有解. x1a1 + x2a2 + ··· + xmam = b 向量 b 能由向量组 A 线性表示, 由向量组 A 线性表示. 则向量 b 是向量组 A 的线性组合, b = ?1a1 + ?2a2 + ··· + ?mam , 在一组数 ?1 , ?2 , ··· , ?m , 使 根据方程组有解的充要条件，可得 如果存 这时称向量 b能 也就是方程组 定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充 B = (a1 , a2 , ··· , am , b) 的秩. 矩阵 A = (a1 , a2 , ··· , am) 的秩等于矩阵 2. 向量能由向量组线性表示的充要条件 要条件是 例 1 设 证明：向量 b 能由向量组 ?1 , ?2 , ?3 线性表示， 并求出表达式. 记A = (?1 , ?2 , ?3) B = (A , b) 解 只要证R (A) = R( B) 因此向量 b 能由向量组?1 , ?2 , ?3 线性表示. 行变换 ～ 通解为： 从而得表达式 b = (?1 , ?2 , ?3) x = (-3c+2)?1 + (2c-1)?2 + c?3 . 定义 3 设有两个向量组 A: a1 , a2 , ··· , am 及 表示, 则称这两个向量组等价. A 线性表示. 若向量组 A 与向量组 B 能相互线性 向量组 A 线性表示, 则称向量组 B 能由向量组 B: b1 , b2 , ··· , bs , 若向量组 B 中的每个向量都能由 三、向量组等价的概念及判定条件 存在数 k1j , k2j , ··· , kmj , 使 向量组B能由A线性表示, 即对每个向量 bj (j = 1,2, ··· , s), 从而 由此可知, B = A K, 把向量组 A 和 B 所构成的矩阵分别记作A 和 B 向量组 B：b1 , b2 , ··· , bl 能由向量组 A：a1 , a2 , ··· , am 线性表示， 其涵义是存在 矩阵Km ? l ，使 (b1 , ··· , bl ) = (a1 , ··· , am )K. 也就是矩阵方程 (a1 , a2 , ··· , am )X = (b1 , b2 , ··· , bl ) 有解. 根据矩阵方程有解的充要条件，可得 定理 2 向量组 B：b1 , b2 , ··· , bl 能由向量 组 A：a1 , a2 , ··· , am 线性表示的充要条件是 A = (a1 , a2 , ··· , am ) 的秩等于矩阵 (A , B) = (a1 , ··· , am , b1 , ··· , bl ) 的秩， 即：R(A) = R(A , B) . 推论 向量组 A：a1 , a2 , ··· , am 与向量组 B：b1 , b2 , ··· , bl 等价的充要条件是 R(A) = R(B) = R(A , B) , 其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵. 矩阵 例 2