[教育学]1函数的概念及其极限.ppt

高数 思考及练习 1. 是否存在 ? 为什么 ? 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 , 与已知条件 矛盾. 解: 原式 2. 问 3. 求 解法 1 原式 = 解法 2 令 则 原式 = 4.试确定常数a使 解 : 令 则 故 因此 二、两个重要极限 【定理5】（两边夹定理） 如果函数 满足下列条件： (1)自变量x在点x0的某个邻域（可以不考虑点x0）内,不等式 成立。 (2) 。 则函数f(x)的极限存在且 。 例1 因为对任意实数,都有 成立 又因 时， 均为无穷小， 由定理5和定理1知， 证: 证明 圆扇形AOB的面积 即 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 当x0时,－x0,所以 例2 求 解: 例3 求 解:原式= 例4 求 练习：求 解:令 则 因此 原式 解： 令 则 2. 当n逐渐增大时， 也逐渐增大，当 时， 即 ,当n为任何实数时， 结论仍成立,即 则 令 即 例5 求 解: 例6 求 解: 2. 两个重要极限 或 注: 代表相同的表达式 内容小结 1. 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则 思考与练习 填空题( 1～4 ) 作业: 1.2.5 无穷小量的比较 都是无穷小, 引例: 但 不存在,不可比. 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 而 【定义10】 中,设 在自变量同一变化过程 为无穷小,且 若 则称?是比?高阶的无穷小, 记作 若 则称?(x)是比?(x)低阶的无穷小; 若 ,则称?(x)与?(x)的同阶无 穷小;特别当c=1时,称 ?(x)与?(x)是等价无穷小,记 作 例如， 即 当x→0时,x2是比3x的高阶无穷小. 当x→0时,sinx与3x是同阶无穷小. 当x→0时,sinx是比x2的低阶无穷小. 当x→0时,sinx与x是等价无穷小. 即 ～ 例如,当 时 ～ ～ 故 时, 是关于x的高阶无穷小, ～ 且 又如, 当x→3时,x2-9与x-3是 同阶无穷小. 内容小结 1. 无穷小的比较 设?,? 对同一自变量的变化过程为无穷小,且 ? 是 ? 的高阶无穷小 ? 是 ? 的低阶无穷小 ? 是 ? 的同阶无穷小 ? 是 ? 的等价无穷小 ? 是 ? 的 k 阶无穷小 常用等价无穷小: 【定义1】 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,若当 时,函数f(x)的极限存在且等于f(x0),即 则称函数 y=f(x)在点x0连续. 即函数 在点 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 连续必须具备下列条件: 存在 ; 有定义, 存在 ; 。 由函数在一点x0处的连续定义及 ,有 注： 【定义2】 设函数y=f(x)在点x0的左邻域(x0+　,x0］内有定义,若 ,则称函数y=f(x)在点x0处左连续。 同理可定义函数f(x)在x0点右连续，即 　　 函数f(x)在x０点连续的充分必要条件是它在x０点即左连续又右连续，即 如例7中,函数 在x=0点有定义, 但 所以 不存在。 左连续。如图所示。 因此f(x)在0点不连续,但 若f(x)在区间（a,b）上每一点都连续,则称 f(x)在(a,b)上连续;如果f(x)在x=a点右连续,而在x=b点左连续,则称f(x)在区间[a,b]上连续． 例如, 在 上连续,即: (有理整函数) 又如,有理分式函数 义域内连续。 在其定 只要 都有 1.3.2 间断点 如果函数y=f(x)在点x0处不连续,则称x0点为 种情况之一时,点x0为函数f(x)的间断点: (1)函数f(x) 在 无定义 ; 在 在 (2)函数f(x) 不存在; (3)函数f(x) 存在, 但 虽有定义,但 虽有定义,且 f(x)的间断点或不连续点。 根据定义1可知,当函数f(x)在点x0有下列三 例18 函数 在x=1点无意义,所以x=1是此函数的间断点,见图. 如例7中,函数 在x=0点有定义, 但 所以 不存在,因此x=0是该函数的间断点, 如图所示。 显然 为其可去间断点。 (1) (2) 为其跳跃间断点。 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点。 的间断点。 2. 设 时， 提示: 为 连续函数。 答案: x = 1 是第一类可去间断点, 连续函数的重要定理 设 在 上有界； 则： 在 上达到最大值和最小值； 在 上可以取最大值