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第六章 概率与分布 第一节 概率的基本概念 一、概率 二、概率的基本性质 三、概率分布类型 一、概率 （一）随机现象 （二）事件与概率 （一）随机现象 1、确定性现象：在一定条件下事先可以断言必然会发生某种结果的现象。 必然现象：在一定条件下必然会发生的现象。 不可能现象：在一定条件下必然不会发生的现象。 2、随机现象：在一定条件下，事先不能断言会出现哪种结果的现象。 随机试验：对随机现象的一次观察。 随机试验是研究随机现象的手段。 随机现象的特点 偶然性：一次试验前，不能预言发生哪一种结果。 必然性：在相同条件下，进行大量次重复试验，呈现出统计规律性。 随机事件 随机事件：随机现象中出现的各种可能的结果，简称事件。 随机事件中有两种极端情况：必然事件和不可能事件。 必然事件：某一事件包含随机试验中所有可能的结果。 不可能事件：某一事件不包含随机试验中的任何结果。 （二）事件与概率 在N次重复试验中，事件A发生的次数为n，那么n与试验总次数N的比值，称为事件A发生的频率，记作： 那么什么是概率呢？ 概率是表明随机事件出现可能性大小的客观指标。 概率的两种不同定义： 后验概率、先验概率。 1、后验概率 如果把一枚质地均匀的硬币抛出以后，正面向上的概率有多大呢？ 假定，在n次抛掷（试验）中，硬币正面向上的次数为m，则正面朝上的频率为m／n。这个频率不是概率，因为有随机误差的存在。在这n次试验中，可能碰巧正面朝上的情况多一点，在另外的n次试验中，也许正面朝上的情况就少一点。为了减少这种误差，就要加大试验的次数。 抛硬币 随着抛掷次数的不断增加，硬币正面朝上的次数与抛掷总次数的频率越来越趋于稳定在0.5附近，于是0.5就被认定为正面朝上的概率，这个概率称为后验概率。 后验概率 后验概率是在大量试验的基础上建立起来的，假定用A表示一个随机事件，后验概率就是在大量试验中随机事件A出现次数的稳定比率。即：对随机事件进行n次实验，某一事件A出现m次，m与n的比值叫做随机事件A的频率，当n→∞时 ，随机事件A的频率m/n趋于某一常数P，则这一常数P就是随机事件A发生的概率，即 2、先验概率 在某些条件下，我们不做试验就可以确定随机事件的概率，这种无需进行大量实验的概率就是先验概率，也称古典概率。 古典概型 先验概率涉及的问题都比较简单，例如掷骰子（touzi）、抛硬币等，这些随机现象有两个共同的特点：a、结果数目有限，b、各种结果出现的可能性被认为是相等的。满足这两个条件的模型，称为古典概型。 先验概率的定义 先验概率就是通过古典概型加以定义的。即某一随机事件A的概率为该事件所包含的可能结果个数m与所有可能结果的总数n的比值，即 例题 例6-1，一个箱子里有100个球，其中97个是白色的，3个是红色的，从箱子里任意取出一个球，这个球是红色的概率是多少？ 例6-2，抛掷硬币3次，问其中一次正面朝上的概率是多大？ 二、概率的基本性质 （一）概率的公理系统 （二）概率的加法定理 （三）概率的乘法定理 （一）概率的公理系统 1、任何一个随机事件A的概率都是非负的。 2、在一定条件下必然发生的事件即必然事件的概率为1。 3、在一定条件下，必然不发生的事件，即不可能事件的概率为0。 0≤P（A）≤1，越接近1，事件发生的可能性越大，越接近0，可能性越小，2、3反过来不成立。 （二）概率的加法定理 1、不相容事件：在一次实验中，不可能同时出现的事件。即，则称A与B为互不相容事件。 2、加法定理：两个互不相容事件A、B之和的概率，等于这两个事件的概率之和：P(A +B )= P(A )+ P(B )。 3、推论：有限个互不相容事件和的概率，等于这些事件概率之和。 （三）概率的乘法定理 1、独立事件：一个事件的出现对另一事件的出现不发生影响，则称这两个事件为相互独立事件： 。 2、相关事件：如果事件A的概率随事件B是否出现而改变，事件B的概率随事件A的出现而改变，则这两个事件为相关事件。 3、乘法定理：两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。即 。 4、推论：有限个独立事件积的概率，等于这些事件概率的乘积。 例6-3 盒中有6支红粉笔、5支黄粉笔、2支绿粉笔和7支白粉笔。问任意摸得一只红色或绿色粉笔的概率是多少？任意摸得一支红色或黄色或白色粉笔的概率是多少？ 例6-4 某专业研究生复试，让考生从6个试题中任意抽取一题进行 ，若抽到每一题的概率为1／6，前一考生抽过的试题再放回，后一考生再抽，问2个考生都抽到试题1的概率是多少？ 练习 1、掷出一个骰子，