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[数学]1-1矩阵概念及运算
思考题解答 答 故 成立的充要条件为 矩阵A、B可交换。即 这是一个以原点为中心 旋转 角的旋转变换. 对应 方法2:几何法 系数矩阵 应用举例:线性方程组 常数项 第二节 矩阵的运算 第一章 矩阵 1、定义 一、数与矩阵相乘 2、数乘矩阵的运算规律 (设 为 矩阵, 为数) 1、定义 二、矩阵的加法 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ,规定为 说明 只有当两个矩阵是同维矩阵时,才能进 行加法运算. 例如 2、 矩阵加法的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. 三、矩阵与矩阵相乘 商品名 代理商 1、定义 并把此乘积记作 设 是一个 矩阵, 是一个 矩阵,那么规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ,其中 例1 设 例2 故 解 注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时,两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. 而 2、矩阵乘法的运算规律 (其中 为数); 若A是 阶矩阵,则 为A的 次幂,即 并且 例 设 (1) 矩阵的乘法不满足交换律,即一般情况下 (2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,即 A ≠ O,B ≠ O,而可能AB = O (3) 矩阵的乘法不满足消去律,即AC=BC,C≠O, 而可能A ≠B 若AB=BA, 则称A与B可交换(A,B同阶方阵) 数量阵与所有n阶方阵作乘法可交换 例3 方法:结合律 例5 方法:归纳法 例6 两个下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵。 上三角矩阵的乘积仍是上三角阵。 对角阵的乘积仍为对角阵。 0 0 故结论成立 例 1、转置矩阵(Transpose) 四、矩阵的转置运算 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵,叫做 的转置矩阵,记作 或 . 转置矩阵的运算性质 例5 已知 解法1 解法2 2、对称阵与反对称阵对称阵 定义 设 为 阶方阵,如果满足 ,即 那末 称为对称阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。 说明 例6 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 证明 命题得证. 小结 (1)矩阵的概念 (2) 特殊矩阵 方阵 行矩阵与列矩阵; 单位矩阵; 对角矩阵; 零矩阵. 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称阵与反对称阵 (2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律. (1)只有当两个矩阵是同维矩阵时,才能 进行加法运算. 注意 (3)矩阵的数乘运算是该数乘以矩阵中每一个元素. 思考题 成立的充要条件是什么? 主讲老师: 卢俊杰 mail: jjlu@ 公邮:xianxingdaishu_lu@163.com 密码:xiandai12 几点提示: 学习方法 数学的通用学习方法 线性代数自身的特点 学习手段 课堂“懂”:提问! 课后“动”:作业! 辅助活动 答疑:A楼二楼教师休息室 参考书: 为什么要学习线性代数?学了又有什么用? 基础课、大用场 数学思维训练: 概念?定理?性质?新的结论 建模?实际问题的数学建模 科学计算(模型求解): 方程求解(数值分析)(工程问题) 运筹决策、最优化 矩 阵 线性方程组 行列式 向量组 一一对应 一 一 对 应 第一节 矩阵 第一章 矩阵 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B. 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 发站 到站 其中 表示有航班. 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表: 这个数表反映了四城市间交通联接情况. 二、矩阵的定义 由 个数 排成的 行 列的数表 称为 维矩阵.简称 矩阵.
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