[数学]07 第七章 不等式.doc

第七章 不等式 知识网络 . 第1讲 不等关系与不等式 ★ 知 识 梳理 ★ 1.比较原理： 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：ab;ab;a=b； ；；． 2．不等式的性质： （1）对称性:， （2）传递性:， （3）可加性:. 移项法则: 推论：同向不等式可加. （4）可乘性:， 推论1：同向(正)可乘: 推论2：可乘方(正): ` (5) 可开方(正): ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.熟悉不等式的性质。 2.难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式（组）正确表示出不等关系。 3.重难点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式,利用不等式的性质证明简单的不等式. （1）用不等式表示不等关系 问题1. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 点拨：设杂志社的定价为x?元 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 （2）用不等式的性质精确的估算变量或参数的取值范围 问题2. 已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围. 点拨：∵a+b，a－b的范围已知， ∴要求2a+3b的取值范围， 只需将2a+3b用已知量a+b，a－b表示出来. 可设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系数法求出x、y. 解析：设2a+3b=x（a+b）+y（a－b）， ∴解得 ∴－＜（a+b）＜， －2＜－（a－b）＜－1. ∴－＜（a+b）－（a－b）＜， 即－＜2a+3b＜. 错解：解此题常见错误是：－1＜a+b＜3， ① 2＜a－b＜4. ② ①+②得1＜2a＜7. ③ 由②得－4＜b－a＜－2. ④ ①+④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜. ⑤ ③+⑤得－＜2a+3b＜. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 不等关系及不等式 题型1.建立不等关系 [例 【解题思路】设出变量,将文字语言转化为数学符号. [解析] 假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根.. 根据题意，应有如下的不等关系： （1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm； （2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍； （3）解得两钟钢管的数量都不能为负。 由以上不等关系，可得不等式组： 【名师指引】建立不等关系关键在于文字语言与数学符号间的转换.它们之间的关系如下表. 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 至多 ≤ 小于 至少 ≥ 大于等于 ≥ 不少于 ≥ 小于等于 ≤ 不多于 ≤ 题型2用:比较法两个数的大小 例2. 比较与（其中，）的大小 【解题思路】作差整理,定符号 解析：， ∵，，∴，所以． 【名师指引】作差比较法的步骤是： 作差；变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等； 判断符号；作出结论． 1.设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c之间的大小关系为____________. 解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.c=5－2=－＞0. b－c=3－7=－＜0.∴c＞b＞a.答案：c＞b＞a 2. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是. 解析：这辆汽车原来每天行驶的路程为x km，则 解之,得 256＜x＜260.答案：256＜x＜260 2 不等式的性质 题型：验证或推导简单不等式的有关结论 例1. 已知：m＞n，a＜b，求证：m－a＞n－b. 【解题思路】以不等式的性质为基础，进行推导 证法一：由m＞n知m－n＞0，由a＜b知b－a＞0. ∴（m－a）－（n－b）＝（m－n）＋（b－a）＞0m－a＞n－b； 证法二：∵a＜b ∴－a＞－b 又∵m＞n ∴m＋（－a）＞n＋（－b） ∴m－a＞n－b. 【名师指引】不等式的性质中,有“单向性”和“双向性”的区别,切记随心所欲、自创性质 ;②;③,以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可组成几个正确命题. 【解题思路】以比较法为基础进行变形 [解析](1)对②变形,由得②成立,∴①③②. (2)若,则,∴①②③.(3)若,则,∴①②③.