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[数学]2010全国高中数学联赛模拟试题及答案9套
2010全国高中数学联赛模拟试题(一)
(命题人:吴伟朝)
第一试
选择题:(每小题6分,共36分)
方程6×(5a2+b2)=5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是
(A)1 (B)3 (C)4 (D)5
函数(x∈R,x≠1)的递增区间是
(A)x≥2 (B)x≤0或x≥2
(C)x≤0 (D)x≤或x≥
过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B,使△AOB(O为原点)的面积最小,则l的方程为
(A)x+y-3=0 (B)x+3y-5=0
(C)2x+y-5=0 (D)x+2y-4=0
若方程cos2x+sin2x=a+1在上有两个不同的实数解x,则参数a的取值范围是
(A)0≤a<1 (B)-3≤a<1
(C)a<1 (D)0<a<1
数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是
(A)42 (B)45 (C)48 (D)51
在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中,满足条件a1<a2,a2>a3,a3<a4,a4>a5的排列的个数是
(A)8 (B)10 (C)14 (D)16
填空题:(每小题9分,共54分)
1、[x]表示不大于x的最大整数,则方程×[x2+x]=19x+99的实数解x是 .
2、设a1=1,an+1=2an+n2,则通项公式an= .
3、数799被2550除所得的余数是 .
4、在△ABC中,∠A=,sinB=,则cosC= .
5、设k、?是实数,使得关于x的方程x2-(2k+1)x+k2-1=0的两个根为sin?和cos?,则?的取值范围是 .
6、数(n∈N)的个位数字是 .
(20分)
已知x、y、z都是非负实数,且x+y+z=1.
求证:x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)≥0,并确定等号成立的条件.
(20分)
求出所有的实数a,使得关于x的方程x2+(a+2002)x+a=0的两根皆为整数.
试求出所有的实数a,使得关于x的方程x3+(-a2+2a+2)x-2a2-2a=0有三个整数根.
(20分)
试求正数r的最大值,使得点集T={(x,y)|x、y∈R,且x2+(y-7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S={(x,y)|x、y∈R,且对任何?∈R,都有cos2?+xcos?+y≥0}之中.
第二试
一、(50分)
设a、b、c∈R,b≠ac,a≠-c,z是复数,且z2-(a-c)z-b=0.
求证:的充分必要条件是(a-c)2+4b≤0.
二、(50分)
如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB均是锐角,D是BC边上的内点,且AD平分∠BAC,过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ,其垂足是P、Q,两条直线CP与BQ相交与点K.求证:
AK⊥BC;
,其中表示△ABC的面积.
三、(50分)
给定一个正整数n,设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程:
.
确定和式的值(写成关于n的最简式子).
参考答案
第一试
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C D A B D
二、填空题:
1、或; 2、7×2n-1-n2-2n-3;
3、343; 4、;
5、{?|?=2n?+?或2n?-,n∈Z} ;6、1(n为偶数);7(n为奇数).
三、证略,等号成立的条件是或或或.
四、(1)a的可能取值有0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-2040;(2)a的可能取值有-3,11,-1,9.
五、rmax=.
第二试
一、证略(提示:直接解出,通过变形即得充分性成立,然后利用反证法证明必要性).
二、证略(提示:用同一法,作出BC边上的高AR,利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP三线共点,从而AK⊥BC;记AR与PQ交于点T,则=AR>AT>AQ=AP,对于AK<AP,可证∠APK<∠AKP).
三、.
2010全国高中数学联赛模拟试题(三)
(命题人:吴伟朝)
第一试
一、选择题:(每小题6分,共36分)
若集合S={n|n是整数,且22n+2整除2003n+2004},则S为
(A)空集 (B)单元集 (C)二元集 (D)无穷集
若多项式x2-x+1能除尽另一个多项式x3+x2+ax+b(a、b皆为常数).则a+b等于
(A)0 (B)-1 (C)1 (D)2
设a是整数,关于x
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