[数学]2012第七章 常微分方程数值解法.ppt

求解初值问题 的单步显式方法可一统一写为如下形式 yn+1=yn+h?(xn,yn,h) (7.21) 对于Euler方法,有 §7.2.6 单步方法的收敛性、稳定性和相容性 1.单步方法的收敛性 y?=?(x,y) ,a?x?b y(a)=? 其中?(x,y,h)称为增量函数. ?(x,y,h)=?(x,y) 对于改进的Euler方法,有 ?(x,y,h)=1/2[?(x,y)+?(x+h,y+h?(x,y))] 设y(x)是初值问题(7.1)的解 ,yn是单步法 (7.21)产生的近似解.如果对任意固定的点xn,均有 y(xn),则称单步法(7.21)是收敛的. 可见,若方法(7.21)是收敛的,则当h?0时,整体截断误差en=y(xn)-yn将趋于零. 定理2.6.1 设单步方法(7.21)是p?1阶方法, 增量函数?(x,y,h)在区域?a?x?b,-?y+?,0?h?h0?上连续,且关于y满足Lipschitz条件,初始近似y0=y(a)=?,则方法(7.21)是收敛的,且存在与h无关的常数C,使 |y(xn)-yn|?Chp 证明 因为单步方法(7.19)是p阶方法,则y(x)满足 定义2.6.1： 其中,局部截断误差|Rn(h)|?C1hp+1, 记en=y(xn)-yn ,则有 利用Lipschitz条件得 y(xn+1)=y(xn)+h?(xn,y(xn),h)+Rn(h) 递推得到 注意到 en+1=en+h[?(xn,y(xn),h)-?(xn,yn,h)]+Rn(h) |en+1|?(1+hL)|en|+C1hP+1 1+hL?ehL , (1+hL)n?enhL?eL(b-a) 由于e0=y(a)-y0=0, 所以有 则有 设?(x,y)连续且关于y满足Lipschitz条件,对于Euler方法,由于?(x,y,h)=?(x,y),故Euler方法是收敛的. 对于改进的Euler方法,由?(x,y)的Lipschitz条件有 |en|?|e0|eL(b-a)+C1hp/L(eL(b-a)-1) |en|?C1hp/L(eL(b-a)-1)=Chp |?(x,y,h)-?(x,y*,h)|?1/2|?(x,y)-?(x,y*)| +1/2|?(x+h,y+h?(x,y))-?(x+h,y*+h?(x,y*))| ?1/2L(1+hL)|y-y*| 则当h?h0时,?关于y满足常数为1/2L(1+h0L)的Lipschitz 条件,因此改进的Euler方法是收敛的. 可类似验证各阶R-K方法是收敛的. 2 单步方法的稳定性 定义2.6.2 对于初值问题(7.1),取定步长h,用某个差分方法进行计算时,假设只在一个节点值yn上产生计算误差?,即计算值?yn=yn+?, 如果这个误差引起以后各节点值ym(mn)的变化均不超过? ,则称此差分方法是绝对稳定的. 讨论数值方法的稳定性,通常仅限于典型的试验方程 y?=?y 其中?是复数且Re(?)0. 在复平面上,当方法稳定时要求变量?h的取值范围称为方法的绝对稳定域,它与实轴的交集称为绝对稳定区间. 将Euler方法应用于方程y?=?y, 得到 设在计算yn时产生误差?n,计算值?yn=yn+?n,则?n将对以后各节点值计算产生影响.记?ym=ym+?m ,m?n,由上式可知误差?m满足方程 ?m=(1+?h)?m-1=…=(1+?h)m-n?n , m?n 对隐式单步方法也可类似讨论.如将梯形公式用于方程y?=?y,则有 yn+1=yn+h/2 ?(yn+yn+1) yn+1=(1+?h)yn 可见,若要|?m||?n|,必须且只须|1+?h|1 ,因此Euler法的绝对稳定域为|1+?h