[数学]2012理数模拟题大题集合.doc

【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】 18．（本题满分14分）设函数 （Ⅰ）求的最大值，并写出使取最大值是的集合； （Ⅱ）已知中，角的对边分别为若求的最小值. 19．（本题满分14分）已知数列，满足：，当时，；对于任意的正整数，．设的前项和为. （Ⅰ）计算，并求数列的通项公式； （Ⅱ）求满足的的集合. 20．（本题满分14分） 如图，在正三棱柱中， 是的沿长线上一点，过三点的平面交于，交于 （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）当平面平面时，求的值. 21．（本题满分15分）如图，已知点，点是⊙：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线. （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）已知⊙：（）的切线总与曲线有两个交点，并且其中一条切线满足，求证：对于任意一条切线总有. 22．（本题满分15分）已知函数（常数）. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设如果对于的图象上两点，存在，使得的图象在处的切线∥，求证：. 答案： 18（Ⅰ） …………………… 的最大值为……………………分 要使取最大值， 故的集合为 ……………………分 注：未写“”扣1分；结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分. （Ⅱ）由题意，，即 化简得……………………分 ，，只有，…………………分 在中，由余弦定理，……………分 由知，即，当时取最小值……………分 注：不讨论角的范围扣1分. 19（Ⅰ）在中，取，得，又，，故同样取可得……………………分 由及两式相减可得：，所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而，故是公差为的等差数列，……………………分 注：猜想而未能证明的扣分；用数学归纳法证明不扣分. （Ⅱ）在中令得……………………分 又，与两式相减可得：，，即当时， 经检验，也符合该式，所以，的通项公式为………………9分 . 相减可得： 利用等比数列求和公式并化简得：……………………11分 可见，，……………………12分 经计算，，注意到 的各项为正，故单调递增，所以满足的的集合为……………………14分 20（Ⅰ）因为∥，在平面外，所以∥平面；…………2分 是平面与平面的交线，所以∥，故∥；…………4分 而在平面外，所以∥平面……6分 注：不写“在平面外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分. （Ⅱ）解法一：取中点、中点则由∥知在同一平面上，并且由知而与（Ⅰ）同理可证平行于平面与平面的交线，因此，也垂直于该交线，但平面平面，所以平面，…………10分 于是，∽ …………12分 即…………14分 注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理. （Ⅱ）解法二：如图，取中点、中点. 以为原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系. 则在平面中,， 向量 设平面的法向量，则由 即 得……………………9分 在平面中,，向量 设平面的法向量，由 得……………………12分 平面平面，，即……………………14分 注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分. 21、（I）由题意，， ∴Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且, ∴曲线C的轨迹方程是.………………分 （II）先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线：，则 由与⊙O相切得 即 ①……………7分 由，消去得，, 设，，则由韦达定理得 ，……………………9分 ②……………………10分 由于其中一条切线满足，对此 结合①式可得…………………………………………12分 于是，对于任意一条切线，总有，进而 故总有. …………………………………………14分 最后考虑两种特殊情况：（1）当满足的那条切线斜率不存在时，切线方程为 代入椭圆方程可得交点的纵坐标，因，故，得到，同上可得：任意一条切线均满足；（2）当满足的那条切线斜率存在时，，，对于斜率不存在的切线也有. 综上所述，命题成立. …………………………………………15分 22、（I）的定义域为 …………………………..………..…….2分 ①时，的增区间为，减区间为 ②时，的增区间为，减区间为 ③时，减区间为 ④时，的增区间为，减区间为…………6分 （II）由题意 又：…………………………..…………….9分 （）在上为减函数 要证,只要证 即, 即证……………....…….13分 令 ， 在为增函数 ，即 即 得证………………………..………15分 【杭十四中2012届高三上学期12月月考理数】 18．（本题满分14分） 已知向量 与 共线，设函数 。 （I） 求函数 的周期及最大值； （II） 已知锐角 △ABC 中的三个内角分别为 A、B、C，若有 ，边 BC＝，，求