[数学]2013年全国高校自主招生数学模拟试卷及答案.doc

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 参考答案 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P?ABCD中，∠APC=60°，则二面角A?PB?C的平面角的余弦值为（ B ） A. B. C. D. 解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结CM、AC，则∠AMC为二面角A?PB?C的平面角。不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。在△AMC中，由余弦定理得。 2. 设实数a使得不等式|2x?a|+|3x?2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（ A ） A. B. C. D. [?3，3] 解：令，则有，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。 一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立。由于 ， 所以，从而上述不等式等价于。 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a?2b+100成立的事件发生的概率等于（ D ） A. B. C. D. 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。由不等式a?2b+100得2ba+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b=6时，a可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种。于是，所求事件的概率为。 4. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x?c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于（ C ） A. B. C. ?1 D. 1 解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x?c)=2，于是取，c=π，则对任意的x∈R，af(x)+bf(x?c)=1，由此得。 一般地，由题设可得，，其中且，于是af(x)+bf(x?c)=1可化为 ，即 ，所以 。 由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有， 若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。当c=2kπ时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=?1。由(1)、(3)知，所以。 5. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ A ） 解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。 当r1=r2且r1+r22c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当02c|r1?r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1≠r2且r1+r22c时，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。 6. 已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（ B ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 解：先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B。证明如下： 将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个。由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B。 如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}， B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66。 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A(?3，0)，B(1，?1)，C(0，3)，D(?1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为  HYPERLINK  EMBED Equation.3