[数学]53样条插值.ppt

三、B样条 例 当k=0,1,2,3时的B样条 . . 。 。 0 1/48 1/6 23/48 2/3 3 0 0 1/8 1/2 3/4 2 0 0 0 1/2 1 1 ±2 ±1.5 ±1 ±0.5 0 k x 的数值表 0 0 3 0 0 0 2 0 0 1 ±2 ±1.5 ±1 ±0.5 0 k x 的数值表 0 1/2 1 -1/2 -2 3 0 1 -2 2 0 0 0 1 ±2 ±1.5 ±1 ±0.5 0 k x 的数值表 （2）B样条的性质 递推关系 b.奇偶性: c、正性与局部支撑性 d、求导与求积公式 e、归一性 （2）B样条的性质 a、递推关系 b、奇偶性: c、正性与局部支撑性 (3)步长为h，结点等距的B样条 设[a,b]的分划为 四、以B样条为基底的三次样条插值函数 （均匀分划的三次样条插值函数） 1、第一种边界条件的三次样条插值问题 2、第二种边界条件的三次样条插值问题 3、第三种边界条件的三次样条插值问题 四、以B样条为基底的三次样条插值函数 （均匀分划的三次样条插值函数） 设[a,b]的分划 为 则对应分划 的三次样条插值函数可表示为: 1、第一种边界条件的三次样条插值问题 1、第一种边界条件的三次样条插值问题 1、第一种边界条件的三次样条插值问题 1、第一种边界条件的三次样条插值问题 1、第一种边界条件的三次样条插值问题 1、第一种边界条件的三次样条插值问题 (5.35) 1、第一种边界条件的三次样条插值问题 (5.35) P164 (5.35) (5.36) (5.36) 写出方程组的系数矩阵 不是三对角阵，使其 系数矩阵变为三对角阵 (5.36) 矩阵形式: 矩阵形式: 2、第二种边界条件的三次样条插值问题 （5.41） 3、第三种边界条件的三次样条插值问题 (5.43) (5.42) P171 =0.920570 =14.7836 =0.920570 =14.7836 例.给定函数 将区间N等分,针对第二种边界条件,试用三次样条函数 作插值.N=10,20,40 解: 插值条件: 3、线性无关函数系 的一组基: 5、k次样条函数与k次多项式的区别 4、K次样条函数的表示: 课堂练习：写出4个节点的3次样条函数。 二、三次样条插值问题 3、 三次样条插值问题的解存在且唯一 1、 定义 2、三种边界条件 4、误差估计 5、如何构造三次样条插值函数 二、三次样条插值问题 (5.30) 二、三次样条插值问题 当k=1时为分段线性插值. 确定一个三次样条插值函数s(x)需要几个条件? n+3个 现在有几个条件?还需几个条件? n+1个 2个 (5.30) 被插函数f(x)是以 为周期的周期函数. S(x)称为周期样条函数. 第一种和第二种还可以互相搭配产生新的边界条件. 压紧样条 自然样条 由已知 确定 周期端点样条 任玉杰436页 例1 已知f(x)的三个点处的值为 在区间[-1,1]上,求f(x)在自然边界条件下的三次样条插值 多项式. 利用待定系数法求解 令 解方程求系数 3、 三次样条插值问题的解存在且唯一(定理5.4)。 设f(x)在区间[a，b]上连续, 记 称 为函数f(x)的 --范数. 定义：f(x)的 --范数. 5、如何构造三次样条插值函数 (1)待定系数法:解方程组求 (2)三弯矩法: (3)B样条法: (任意分划) (等间距分划) 解法一： 设 令 解方程求系数 待定系数法 解法二：三弯矩法 令 （1）以 为结点作线性插值： （5.45） 其中 （2）连续积分两次： （5.46） 解法二：三弯矩法 令 （5.45） （5.46） (3)利用插值条件 确定 （5.47） （5.47） (4)利用 在内结点连续的条件求 . (4)利用 在内结点连续的条件求 . (4)利用 在内结点连续的条件求 . 令 得 (4)利用 在内结点连续的条件求 . (4)利用 在内结点连续的条件求 . (5.49) 解法二：三弯矩法 （5.45） （5.46） (3)利用插值条件 确定 （5.47） （1） （2） (4)利用 在内结点连续的条件求 . (5.49) …………….. (5)由边界条件再找两个方程： 第一种边界条件 …………….. 第一种边界条件： (5)由边界条件再找两个方程： （5.52） 系数矩阵是主对角线严格占优阵,