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[数学]惩罚函数法算法
5.3.4 惩罚函数法
惩罚函数法简介
内点法
外点法
混合法
总结
惩罚函数法简介
惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效的间接法。
基本原理:
把约束优化问题转化成无约束优化问题来求解。
两个前提条件:
一是不破坏原约束的约束条件
二是最优解必须归结到原约束问题的最优解上去
按照惩罚函数的构成方式,惩罚函数法分为三种:
外点法、内点法、混合法
惩罚函数 r (k) 、m (k)罚因 惩罚项
子
5.3.4.1 内点法
㈠引例 设有一维不等式约束优化问题的数学模型
S.T. :
由图可见,目标函数的可行域为x≥b,在可行域内目标函数
单调上升,它的最优解显然是
* *
x =b ,F =ab
对引例的惩罚函数进行分析,以对内点法有初步认识:
⑴本问题是不等式约束优化问题,故只有一项惩罚项
,一个罚因子
⑵规定罚因子 为某一正数,当迭代点是在可行域内
时,则惩罚项的值必为正值,因此必有
1
(k )
而且,当x越趋近于约束边界时,由于惩罚项 r
g (x )
1
增大,所以罚函数(x ,r(k ) ) 的值越大。当x←b时,罚函
数的值将趋近于+∞。因此,当初始点取在可行域内,求
函数 (x ,r(k ) ) 的极小值时,只要适当控制有哪些信誉好的足球投注网站步长,
防止迭代点跨入非可行域,则所有哪些信誉好的足球投注网站到的无约束极小点
x*必可保持在可行域内。
⑶若对于罚因子的取值由初始的 逐渐变小
时,惩罚函数 (k ) 愈逼近于原目标函数F (x),罚
(x ,r )
函数曲线越来越接近于原F (x)=ax直线,如图所示,对
应罚函数 (x ,r(k ) ) 的最优点列x * ,x * , 不断趋近于原约
0 1
束优化问题的最优点x*=b
小结
由以上可见,如果选择一个可行点作初
始点 x (0) ,令其罚因子 r (k ) 由大变小,
通过求罚函数 (x ,r(k ) ) 的一系列最优点,
*
xk (k 0,1,2 ,)
显见,无约束最优点序列将逐渐趋近于原约
*
束优化问题的最优点x 。
㈡ 内点罚数法的形式及特点
⑴具有不等式约束的优化问题的数学模型
S.T. :
u=1,2……,p
⑵构造如下形式的内点罚函数
p 1
(x , r (k ) ) F (x) r (k )
u 1 g u (x)
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