[数学]数学 高中必修五 解三角形 经典题目.doc

第一章 解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解： 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2 在ABC中，已知c=+，C=30°，求a+b的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°，c=+，∴由正弦定理得： ∴ a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150°-A）. ∴a+b=2(+)[sinA+sin(150°-A)]= 2(+)·2sin75°·cos(75°-A)= cos(75°-A) 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值=8+4； ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A＜150°，∴0°＜A＜150°, ∴-75°＜75°-A＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ cos75°=×=+. 综合①②可得a+b的取值范围为(+,8+4 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3 在△ABC中，·tanB=·tanA，判断三角形ABC的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。 解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得： , 即，， . ∴为等腰三角形或直角三角形。 【解题策略】“在△ABC中，由得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。 例4 在△ABC中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。 解：. 又∵B为锐角，∴B=45°. 由 由正弦定理，得, ∵代入上式得： 考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式 例5 在△ABC中，求证. 【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为. 证明：由正弦定理的变式得： 同理 【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。 例6 在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证. 【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用. 证明： 【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。 考察点4：求三角形的面积 例7 在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若,求△ABC的面积S. 【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c，再求面积。 解：由题意，得 ∴B为锐角， 由正弦定理得 【解题策略】在△ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用， 例8 已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，△ABC的外接圆半径为12，且, 求△ABC的面积S的最大值。 【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。 解： 【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。 考察点5：与正弦定理有关的综合问题 例9 已知△ABC的内角A,B极其对边a,b满足求内角C 【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。 解法1： （R为△ABC的外接圆半径）， 又∵A,B为三角形的内角， 当时，由已知得 综上可知，内角. 解法2： 由及正弦定理得， ， ， 从而 即 又∵0＜A+B＜π， 【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。 例10 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,，求a,b及△ABC的内切圆半径。 【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。 解： 变形为 又 ∴△ABC是直角三角形。 由解得 【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。 ------------------------------------------ 『易错疑难辨析』 易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解 【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。 例1 在△ABC中， 在△ABC中， 【错解】 由正弦定理得 由正弦定理得 【点