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插值法和曲线拟合 一、一维插值 interp1() (1)’nearest’ %最邻近插值 (2)’linear’ %线性插值，(默认) (3)’cubic’ %三次插值 (4)’spline’ %三次样条插值 1. Lagrange插值的实现 编制M文件,以文件名lagrange.m保存. %使用格式为 y=lagrange(X,Y,x) %其中X为插值节点，Y为插值节点的函数值，x为所求点 function y=lagrange(X,Y,x) n=length(X); m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-X(j))/(X(k)-X(j)); end end s=p*Y(k)+s; end y(i)=s; end 例1.在命令窗口输入下列命令： X=2:0.5:10; Y=log(X); lagrange(X,Y,5.12) (ans=1.6332) lagrange(X,Y,15) (ans=-51.9765) %画图比较 x1=2:0.5:13; y1=lagrange(X,Y,x1); plot(X,Y,’b-’,x1,y1,’r*’) (内插较好，外插较差) 2. 分段线性插值 y=interp1(X,Y,x) 3. 三次样条插值 y=spline(X,Y,x) 例2.在命令窗口输入下列命令： %画图比较 X=[1:0.5:10]; Y=sin(X); x=[1:0.5:10]; y1=interp1(X,Y,x); y2=spline(X,Y,x); plot(X,Y,’b-’,x,y1,’r*’,) plot(X,Y,’b-’,x,y2,’r*’,) * 第一节 插值法有关概念 注:一次多项式插值 --- 过两点直线; 二次多项式插值 --- 过三点抛物线; 不用待定系数法 --- (1)计算量大; (2)不易讨论误差。 常用的插值法： (1)拉格朗日(Lagrange)插值法 (2)牛顿(newton)插值法 (3)埃尔米特(Hermite)插值法 (4)分段低次插值法 (5)三次样条插值法 第二节 Lagrange插值多项式 采用插值基函数来构造所求多项式. 第三节 Hermite插值多项式 前述插值问题:要求被插函数与插值多项式在节 点取相同值。 Lagrange型插值条件 然而,实际许多问题还常常要求两曲线进一步有共同切线——插值条件为:求一次数不超过 2n+1的多项式 ，使之满足给定的Hermite型插值条件： 第四节 分段低次多项式插值 一、高次插值的Runge现象 对于代数插值来说，插值多项式的次数很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考察函数 ,设将区间 分为n等份， 表取n+1个等分点作节点的插值多项式，如下图所示，当n增大时， 在两端会发出激烈的振荡，这就是所谓龙格现象。 二、分段线性插值 三、分段三次Hermite插值 第五节 三次样条插值 所谓样条函数，从数学上讲，就是按一定光滑 性要求“装配”起来的分段多项式，具体的说，称具 有分划 的分段k次式 为k次样条函数，如果它在每个内节点 上具有直到k-1阶连续导数。点 称为样条 函数的节点。 特别地，零次样条 就是人们熟知的阶梯函 数，一次样条 则为折线函数。 第六节 最小二乘法与曲线拟合 当数据量特别大时一般不用插值法。这是因为数据量很大时所求插值曲线中的未知参数就很多，而且数据量很大时，多项式插值会出现高次插值（效果不理想）或分段低次插值（精度不高）；另外，测量数据本身往往就有误差，所以，使插值曲线刻意经过这些点也不必要。 而曲线拟合是，首先根据物理规律或描点画草图确定一条用来拟合的函数曲线形式，也可选择低次多项式形式（所含参数比较少），然后按最小二乘法求出该曲线，它未必经过所有已知点，但它能反映出数据的基本趋势，且误差最小，效果比较好。