[数学]数学建模-张引娣.ppt

1. 数学建模概论 随着科学技术的不断进步,数学模型和数学建模这 些名词已经越来越多的出现在我们的日常工作和日常生 活中.城市人口不断增加,道路显得越来越拥挤,你想改善 城市的交通状况吗?那你首先必须建立一个交通流模型, 研究一番城市交通的现状及可能有的发展趋势,从中找出 改善交通拥挤现象的有效措施。我国人口多，你想研究 一下怎样才能有效控制住我国人口的迅猛增长而又不会 在其他方面造成过大的负面影响吗？那你要建立一个能 较好反映真实情况的我国人口模型，对人口增长作出预 测，并分析各种政策的实施究竟会对我国人口的增长以 及对国民经济各领域的发展产生怎样的影响，等等，等 等。总之，社会，经济，生物，医学…各学科，各行业 时时刻刻都在提出各种各样的实际课题，要求我们运用 数学知识去开展研究，找出解决问题的办法来。过去， 由于计算技术的落后，一些学科中的实际问题很难用数 学方法对它们进行定量化的研究，只能依据经验作一些 宏观分析。然而，这种状况现在已经有了根本性的改 变，计算机的出现和计算技术的发展为开展更深入的定 量分析奠定了基础，于是，经济数学，生物（生态）数 学，管理科学等新兴学科分支不断涌现，大大拓展了数 学的应用范畴。 然而，科学研究与技术革新所面临的各种问题（即 研究课题）一开始大都并非纯粹的数学问题。例如，我 们想知道我国的国宝熊猫最后究竟是否会绝种，是否有 办法保护它们灭顶之灾？近年城市里的私家车发展得如 此之快，如何改善路况，才能最大限度地避免交通阻 塞？近几年来大中城市的房价增长过快，有什么办法能 做到既有效改善群众的住房条件，又抑制炒房风越刮越 烈？我国的城市化进程非常的快，如何解决好面临的各 种新问题，使各行各业的发展呈现良性平衡？等等，等 等。这些问题本身并非纯数学方面的问题但对它们的研 究又离不开数学。如何应用数学知识去研究和解决这些 实际问题呢，我们遇到的第一个问题就是如何建立恰当 的数学模型来描述它们。建立数学模型其实就是架设连 接实际课题与描述它们的相应数学问题之间的桥梁，只 有建立好相应的数学模型，才有可能运用数学方法来研 究实际问题。从这一意义上讲，数学建模可以说是一切 学科研究的基础。没有一个较好的数学模型就不可能得 到较好的研究结果。所以，建立一个较好的数学模型乃 是解决实际问题的关键之一。 1.1 数学模型与数学建模 客观实体是我们研究的对象，是科学研究的目标和 原型。我们生活在千变万化的大自然中，时时刻刻会遇 到各种各样的新情况，新问题。自然界中的一切事物都 在按自身的规律在变化着，要适应自然，战胜自然，人 们必须不断地去探索奥秘，努力去了解客观实体的本质 属性。世界是变化的，万物之间存在千丝万缕的联系， 其间必然存在着大量的数量关系。数学，特别是高等数 学，正是研究这种数量关系的学科，从而十分自然地成 了各门学科研究和发展的重要工具。 数学学科，从其诞生的第一天起，就一直和人们的 生长、生活密切相关。数学的特点不仅在于其概念的抽 象性和逻辑的严密性，也在于其应用的广泛性。牛顿为 了研究引力现象及受迫运动创建了微积分，而微积分的 创建又极大地强化了人们的研究手段，推动了科学技术 的迅猛发展。所以，数学离不开科研、生产实际，科 研、生产实际也同样离不开数学。 然而，数学并非简单的等同于科研、生产实际。这 就产生了一个问题，如何运用数学工具去研究和解决实 际问题呢？实际问题一般都是及其复杂的，人们不可能 一丝不差地用数学将其复制出来。为了用数学来描述实 际问题，研究者必须从实际问题中抽象出它的本质属 性，抓住主要因素，去除次要因素，经过必要的精练简 化，建立起相应的“数学模型”。此后的进一步研究将建 立在此数学模型之上，这样一来，一个实际问题就转变 成了一个数学问题。假如这一数学问题的求解在数学上 并无困难，我们就成功地（至少是在一定程度上）解决 了实际问题；假如现有的数学知识尚无法解决这一数学 问题，则对该实际问题的研究必然也会推动数学学科本 身的发展（象牛顿创建微积分那样），自然科学的进步 就是在这样一种滚动式的进程中实现的。 如前所说，模型不是客观实体的复制或翻版，而是 客观实体有关属性的（经必要简化的）模拟。研究结果 好不好在很大程度上取决于模型建立得好不好，因为你 的研究结果其实是从对数学模型的研究中得出来的。那 么，根据什么来评价模型的好坏呢？稍稍想一下你就会 发现，评价的标准和你研究的目的有关。例如，陈列在 橱窗中的飞机模型好不好应当看其外形究竟像不像真正 的飞机，至于它是否真的会飞却无关紧要，我们把它陈 列在那里的目的是让别人看的而不是去飞的；然而，要 拿去参加航模比赛的飞机模型就全然不同了，如果飞