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[数学]概率部分
第1章 随机事件及其概率
十九世纪法国著名数学家拉普拉斯(Laplace)曾这样说过:“对于生活中的大部分,最重要的问题实际上只是概率问题”.下面我们看一个生活中的概率问题:
例1.0.1 血液酶联免疫吸附试验(Enzyme-Linked Immuno-Sorbent Assay,缩写为ELISA)是现今检测艾滋病病毒的一种流行方法. 假定ELISA血液试验改进到这样的程度,带有艾滋病病毒的人中的96%的检测结果呈阳性(有病),而没带艾滋病病毒的人中的99%的检测结果呈阴性(无病). 根据有关资料估计,某地区在总人口中大约有0.04%的人带有艾滋病病毒. 现对某人的检测结果呈阳性,他真的带有艾滋病病毒的可能性有多大?
许多人可能有过这样的经历,在医院进行一次检查,结果呈阳性(患有某种疾病),但实际上却是虚惊一场. 这是为什么呢?我们将通过本章的学习来弄明白其中的道理.
本章将介绍概率论与数理统计最基本的两个概念——随机事件及其概率. 为了能够从简单事件的概率出发,计算复杂事件的概率,本章介绍了事件的关系和运算以及概率的性质,并在此基础上介绍了条件概率和事件的独立性.
1.1 随机事件
在自然界和人类社会中,普遍存在的现象有两类:一类现象是在一定条件下只出现一个结果. 譬如,每天早晨太阳从东方升起;水在常压下加热到1000C就会沸腾. 我们称这类现象为确定性现象. 另一类现象是在一定条件下并不总是出现相同的结果,这类现象称为随机现象. 由此可见,随机现象的结果至少有两个;至于哪一个出现,人们事先并不知道. 随机现象到处可见!
例1.1.1 随机现象的例子.
(1)抛一枚硬币,可能正面向上也可能反面向上;
(2)掷一颗骰子,出现的点数;
(3)单位时间内经过某路口的车次;
(4)某种型号电视机的寿命(从开始使用到第一次维修的时间). □
在相同条件下可以重复的随机现象有称为随机试验,简称试验. 也有许多随机现象是不能重复的,例如某场足球赛的输赢,明年世界经济是增长还是衰退都是不能重复的. 概率论与数理统计主要研究能够大量重复的随机现象,但也十分注意研究不能重复的随机现象.
随机现象的每一个可能的基本结果称为样本点,用表示,而由全体样本点组成的集合称为样本空间,记为. 研究随机现象首先要列出它的样本空间.
例1.1.2 下面列出例1.1.1中随机现象的样本空间.
(1) ,H表示正面向上,T表示反面向上;
(2) ;
(3) ;
(4) ,t表示电视机的寿命. □
随机现象的某些样本点组成的样本空间的子集称为随机事件,简称事件①,通常用大写字母表示. 在一次试验中,当且仅当事件A中的一个样本点出现时,称事件A发生.
特别地,由样本空间中的单个元素组成的子集,称为基本事件. 作为事件极端情况,样本空间的最大子集(即本身)在每次试验中都必然发生,因此称为必然事件;样本空间的最小子集(即空集)在每次试验中都不可能发生,因此称为不可能事件.
事件是一个集合,因而事件间关系与运算自然按照集合间的关系与运算来处理,下面给出这些关系与运算在概率论中的提法,并根据事件发生的含义,给出它们在概率论的含义.
设为同一个样本空间中的事件.
若事件,则称事件B包含事件A. 这意味着事件A发生必然导致事件B发生.
特别地,若且,即,则称事件与事件相等.
事件称为事件A与B的和事件. 当且仅当A,B中至少有一个发生时,事件发生.
类似地,称为n个事件的和事件;称为可列个事件
的和事件.
,
图1.1.1
事件称为A与B的积事件. 当且仅当A,B同时发生时,事件发生,简记作AB.
类似地,称为n个事件的积事件;称为可列个事件
的积事件.
事件称为事件A与B的差事件. 当且仅当A发生、B不发生时,事件发生. 显然有
若,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的. 这意味着事件A与B不能同时发生. 基本事件是两两互不相容的.
若且,则称事件A与B为互逆事件,又称事件A与B互为对立事件. 这意味着事件A与B中必有一个发生,且仅有一个发生. A的对立事件记为. .
事件间的关系与运算可以用图表示(如图1.1.1所示).
进行事件运算时,经常要用到下面的运算律. 设均为事件,则有
交换律 ,
结合律 ,
分配律 ,
对偶律 ,
对偶律可以推广到多个事件(德摩根公式):
,
下面的关系式是显而易见的,也是有用的:
;
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