[数学]概率部分.doc

第1章 随机事件及其概率 十九世纪法国著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾这样说过：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题”．下面我们看一个生活中的概率问题： 例1.0.1 血液酶联免疫吸附试验（Enzyme-Linked Immuno-Sorbent Assay，缩写为ELISA）是现今检测艾滋病病毒的一种流行方法. 假定ELISA血液试验改进到这样的程度，带有艾滋病病毒的人中的96%的检测结果呈阳性（有病），而没带艾滋病病毒的人中的99%的检测结果呈阴性（无病）. 根据有关资料估计，某地区在总人口中大约有0.04%的人带有艾滋病病毒. 现对某人的检测结果呈阳性，他真的带有艾滋病病毒的可能性有多大？ 许多人可能有过这样的经历，在医院进行一次检查，结果呈阳性（患有某种疾病），但实际上却是虚惊一场. 这是为什么呢？我们将通过本章的学习来弄明白其中的道理. 本章将介绍概率论与数理统计最基本的两个概念——随机事件及其概率. 为了能够从简单事件的概率出发，计算复杂事件的概率，本章介绍了事件的关系和运算以及概率的性质，并在此基础上介绍了条件概率和事件的独立性. 1.1 随机事件 在自然界和人类社会中，普遍存在的现象有两类：一类现象是在一定条件下只出现一个结果. 譬如，每天早晨太阳从东方升起；水在常压下加热到1000C就会沸腾. 我们称这类现象为确定性现象. 另一类现象是在一定条件下并不总是出现相同的结果，这类现象称为随机现象. 由此可见，随机现象的结果至少有两个；至于哪一个出现，人们事先并不知道. 随机现象到处可见！ 例1.1.1 随机现象的例子. （1）抛一枚硬币，可能正面向上也可能反面向上； （2）掷一颗骰子，出现的点数； （3）单位时间内经过某路口的车次； （4）某种型号电视机的寿命（从开始使用到第一次维修的时间）. □ 在相同条件下可以重复的随机现象有称为随机试验，简称试验. 也有许多随机现象是不能重复的，例如某场足球赛的输赢，明年世界经济是增长还是衰退都是不能重复的. 概率论与数理统计主要研究能够大量重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象. 随机现象的每一个可能的基本结果称为样本点，用表示，而由全体样本点组成的集合称为样本空间，记为. 研究随机现象首先要列出它的样本空间. 例1.1.2 下面列出例1.1.1中随机现象的样本空间. (1) ，H表示正面向上，T表示反面向上； (2) ； (3) ； (4) ，t表示电视机的寿命. □ 随机现象的某些样本点组成的样本空间的子集称为随机事件，简称事件①，通常用大写字母表示. 在一次试验中，当且仅当事件A中的一个样本点出现时，称事件A发生. 特别地，由样本空间中的单个元素组成的子集，称为基本事件. 作为事件极端情况，样本空间的最大子集（即本身）在每次试验中都必然发生，因此称为必然事件；样本空间的最小子集（即空集）在每次试验中都不可能发生，因此称为不可能事件. 事件是一个集合，因而事件间关系与运算自然按照集合间的关系与运算来处理，下面给出这些关系与运算在概率论中的提法，并根据事件发生的含义，给出它们在概率论的含义. 设为同一个样本空间中的事件. 若事件，则称事件B包含事件A. 这意味着事件A发生必然导致事件B发生. 特别地，若且，即，则称事件与事件相等. 事件称为事件A与B的和事件. 当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件发生. 类似地，称为n个事件的和事件；称为可列个事件 的和事件. ， 图1.1.1 事件称为A与B的积事件. 当且仅当A，B同时发生时，事件发生，简记作AB. 类似地，称为n个事件的积事件；称为可列个事件 的积事件. 事件称为事件A与B的差事件. 当且仅当A发生、B不发生时，事件发生. 显然有 若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的. 这意味着事件A与B不能同时发生. 基本事件是两两互不相容的. 若且，则称事件A与B为互逆事件，又称事件A与B互为对立事件. 这意味着事件A与B中必有一个发生，且仅有一个发生. A的对立事件记为. . 事件间的关系与运算可以用图表示（如图1.1.1所示）. 进行事件运算时，经常要用到下面的运算律. 设均为事件，则有 交换律 ， 结合律 ， 分配律 ， 对偶律 ， 对偶律可以推广到多个事件(德摩根公式)： ， 下面的关系式是显而易见的，也是有用的： ；