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[数学]矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算 教学目标与教学要求: 第1-2节 矩阵、矩阵的运算 上述四例表明:矩阵乘法一般不满足交换律,即 3、矩阵乘法的运算规律 (1) 只有A 的列数与B 的行数相等时,AB 才有意义. 4、矩阵乘法的注意事项(重点) (2) 矩阵乘法一般不满足交换律,即 三种类型(见例8、例9、例10) (3) 两个不为零的矩阵的乘积可以是零矩阵,即 (4) 矩阵乘法不满足消去律,即 5、矩阵的可交换 注意: 6、线性变换的矩阵表示 线性变换 线性变换的矩阵表示 例如 (1)投影变换: (2)旋转变换: 四、矩阵的转置(重点) 1、矩阵转置的定义 2、转置矩阵的运算规律 证: (4) 解1: 解2: 解: 3、对称矩阵(反对称矩阵) 说明: 证: 说明: 例16 证明任一 阶矩阵 都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 且表示法唯一. 证: C为对称矩阵. 所以B为反对称矩阵. 命题得证. 五、方阵的幂 1、方阵的幂的定义 注意: 2、方阵的幂运算规律 3、幂运算的注意事项 归纳可得 解2: 用数学归纳法证明 当 时,显然成立. 假设 时成立,则 时, 归纳可得,对任意的 n,结论成立。 由 阶方阵 的所有元素,按原来顺序所构成的 行列式,叫做方阵 的行列式,记作 或 六、方阵的行列式 1、方阵的行列式定义 2、主要运算性质 证: (证明见P41(略),以二阶矩阵验证) 2.1 矩阵 2.2 矩阵的运算………………………………...……. 4学时 2.3 逆矩阵………………..………………………...... 2学时 2.4 矩阵分块法 本章总结………………………….……..……..... 2学时 (教学计划:8学时) 1、熟练掌握矩阵加、减、数乘、乘的运算规则(明确矩阵 与行列式的区别),熟练掌握方阵的行列式的有关性质; 2、了解矩阵分块的原则;掌握分块矩阵的运算规则; 3、理解可逆矩阵的概念及其性质;会用伴随阵求矩阵的逆。 重点:矩阵加、减、数乘、乘的运算. 伴随法求逆矩阵。 难点:矩阵的乘积及分块矩阵的乘积. 本章重点与难点: 主要内容 (4学时) 一、矩阵的概念 二、矩阵的加法、数与矩阵相乘 三、矩阵的乘法(重点) 四、矩阵的转置(重点) 五、方阵的幂 六、方阵的行列式 1、矩阵的例子 4*4数表 一、矩阵的概念 5*4数表 注意:对线性方程组解的研究转化为对上表的研究. n*(n+1)数表 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 例4(类似P30-例2).某航空公司在A、B、C、D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B. 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 到站 发站 这个数表反映了四城市间交通联接情况. 其中 表示有航班. 为了便于计算,把表中的 改成1, 空白地方填上 0, 就得到一个数表: 2、矩阵的概念 说明: (1)矩阵的表示: (2)实矩阵: 元素是实数的矩阵. 复矩阵: 元素是复数的矩阵. (3)行矩阵(行向量): 列矩阵(列向量): 注意:不同阶数的零矩阵是不相等的. 是一个3 阶方阵. (4)n阶方阵: (5)零矩阵: (6)负矩阵: (7)单位矩阵: (8)对角矩阵: 纯量阵(数量矩阵): 即不仅行数相等、列数相等,并且对应元素相等. (10)行列式与矩阵的主要区别 (9)矩阵的相等 3、线性变换与矩阵 系数矩阵 注意:线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. 线性变换的一些例子 (1)恒等变换: 对应 (2)伸缩变换: 对应 (3)投影变换: 对应 这是一个以原点为中心 旋转 角的旋转变换. (4)旋转变换: 对应 二、矩阵的加法、数与矩阵的相乘 1、矩阵加法的定义 说明: ?A是A的负矩阵 2、矩阵加法的运算规律 矩阵减法的定义: 3、数与矩阵的相乘(数乘矩阵) 说明: 4、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. 三、矩阵的乘法(重点) 1、引例 设有两个线性变换 将式(2)代入式(1),可得 若以A、B、C 代表上述三个线性变换的系数矩阵,即 i j 2、矩阵乘法的定义 说明: 例如 不存在.
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