[数学]矩阵及其运算.ppt

第二章 矩阵及其运算 教学目标与教学要求： 第1-2节 矩阵、矩阵的运算 上述四例表明：矩阵乘法一般不满足交换律，即 3、矩阵乘法的运算规律 (1) 只有A 的列数与B 的行数相等时，AB 才有意义. 4、矩阵乘法的注意事项(重点) (2) 矩阵乘法一般不满足交换律，即 三种类型（见例8、例9、例10） (3) 两个不为零的矩阵的乘积可以是零矩阵，即 (4) 矩阵乘法不满足消去律，即 5、矩阵的可交换 注意： 6、线性变换的矩阵表示 线性变换 线性变换的矩阵表示 例如 （1）投影变换： （2）旋转变换： 四、矩阵的转置（重点） 1、矩阵转置的定义 2、转置矩阵的运算规律 证: (4) 解1： 解2： 解: 3、对称矩阵（反对称矩阵） 说明： 证: 说明： 例16 证明任一 阶矩阵 都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 且表示法唯一. 证: C为对称矩阵. 所以B为反对称矩阵. 命题得证. 五、方阵的幂 1、方阵的幂的定义 注意： 2、方阵的幂运算规律 3、幂运算的注意事项 归纳可得 解2: 用数学归纳法证明 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时， 归纳可得，对任意的 n，结论成立。 由 阶方阵 的所有元素，按原来顺序所构成的 行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或 六、方阵的行列式 1、方阵的行列式定义 2、主要运算性质 证： (证明见P41(略)，以二阶矩阵验证) 2.1 矩阵 2.2 矩阵的运算………………………………...……. 4学时 2.3 逆矩阵………………..………………………...... 2学时 2.4 矩阵分块法 本章总结………………………….……..……..... 2学时 （教学计划：8学时） 1、熟练掌握矩阵加、减、数乘、乘的运算规则（明确矩阵 与行列式的区别），熟练掌握方阵的行列式的有关性质； 2、了解矩阵分块的原则；掌握分块矩阵的运算规则； 3、理解可逆矩阵的概念及其性质；会用伴随阵求矩阵的逆。 重点：矩阵加、减、数乘、乘的运算. 伴随法求逆矩阵。 难点：矩阵的乘积及分块矩阵的乘积. 本章重点与难点： 主要内容 (4学时) 一、矩阵的概念 二、矩阵的加法、数与矩阵相乘 三、矩阵的乘法（重点） 四、矩阵的转置（重点） 五、方阵的幂 六、方阵的行列式 1、矩阵的例子 4*4数表 一、矩阵的概念 5*4数表 注意：对线性方程组解的研究转化为对上表的研究. n*(n+1)数表 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 例4(类似P30-例2).某航空公司在A、B、C、D四城市之间开辟了若干航线，如图所示表示了四城市间的航班图，如果从A到B有航班，则用带箭头的线连接A与B. 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 到站 发站 这个数表反映了四城市间交通联接情况. 其中 表示有航班. 为了便于计算,把表中的 改成1, 空白地方填上 0, 就得到一个数表: 2、矩阵的概念 说明： （1）矩阵的表示： （2）实矩阵: 元素是实数的矩阵. 复矩阵: 元素是复数的矩阵. （3）行矩阵（行向量）: 列矩阵（列向量）: 注意：不同阶数的零矩阵是不相等的. 是一个3 阶方阵. （4）n阶方阵: （5）零矩阵: （6）负矩阵: （7）单位矩阵: （8）对角矩阵: 纯量阵（数量矩阵）: 即不仅行数相等、列数相等，并且对应元素相等. （10）行列式与矩阵的主要区别 （9）矩阵的相等 3、线性变换与矩阵 系数矩阵 注意：线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. 线性变换的一些例子 （1）恒等变换： 对应 （2）伸缩变换： 对应 （3）投影变换： 对应 这是一个以原点为中心 旋转 角的旋转变换. （4）旋转变换： 对应 二、矩阵的加法、数与矩阵的相乘 1、矩阵加法的定义 说明： ?A是A的负矩阵 2、矩阵加法的运算规律 矩阵减法的定义： 3、数与矩阵的相乘（数乘矩阵） 说明： 4、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算. 三、矩阵的乘法（重点） 1、引例 设有两个线性变换 将式（2）代入式（1），可得 若以A、B、C 代表上述三个线性变换的系数矩阵，即 i j 2、矩阵乘法的定义 说明： 例如 不存在.