[数学]第9章 动力学有限元.ppt

振型叠加法 振型叠加法在积分运动方程以前，利用系统自由振动的固有振型 将方程转化为n个相互不耦合的方程，对这种方程可以解析或数 值地进行积分。当采用数值方法时，对于每个方程可以采取各自 不同的时间步长，即对于低阶振型可采用较大的时间步长。 这两者结合起来相当于直接积分法时很大的优点，因此当实际分 析的时间历程较长，同时只需要少数较低阶振型的结果时，采用 振型叠加法将时十分有利的。 振型叠加法 一、求解系统的固有频率和固有振型 此计算步骤是求解不考虑阻尼影响的系统自由振动方程，即 它的解可以假设为以下形式 （4.1） 其中，φ是n阶向量，ω是向量φ的振动频率，t是时间变量，t0 是由初始条件确定的时间常数。 振型叠加法 解方程确定φ和ω。特征向量φ1， φ2，… φn代表系统的n个 固有振型。它们的幅度可按以下要求规定 这样规定的固有振型又称为正则振型，今后所用的固有振型，只 指这种正则振型。固有振型对于矩阵M是正交的。 在有限元分析中，特别是动力分析中，方程的阶数很高而求解 的特征解又相对较少的特征值问题，称为大型特征值问题。 （4.2） 振型叠加法 二、求解系统动力响应 1.位移基向量的变换 引入变换 （4.3） 此变化的意义是a(t)看成是φi(i=1,2,…n)的线性组合，φi可以看 成是广义的位移基向量，xi是广义的位移值。从数学上看，是将 位移向量a(t)从以有限元系统的结点位移为基向量的n维空间转换 到以φi为基向量的n维空间。 通常在实际分析中，需要求解的但自由度方程数远小于系统的自 由度数n 振型叠加法 2.求解单自由度系统振动方程 单自由度系统振动方程的求解，通常采用杜哈美积分，又称为叠 加积分。这个方法的基本思想是将任意激振力ri(t)分解为一系列 微冲量的连续作用，分别求出系统对每个微冲量的响应，然后根 据线性系统的叠加原理，将它们叠加起来。得到系统对任意激振 的响应。 杜哈美积分的结果是 其中 ai，bi是由起始条件决定的常数。 （4.4） 振型叠加法 3.振型叠加得到系统的响应 在得到每个振型的响应后，将它们叠加起来就是系统响应。 对振型叠加法的一些性质和特点： 振型叠加法中，将系统的位移转换到以固有振型为基向量的空 间这对系统的性质并无影响，而是以求解广义特征值为代价， 得到n个单自由度系统的运动方程。 振型叠加法中对于n个单自由度系统运动方程的积分，比联立 方程组的直接积分节省计算时间。 对于非线性系统通常必须采用直接积分法。 振型叠加法 例3 仍以例2中三自由度系统为例，现在用振型叠加法求解。 此时应求解的广义特征值问题是 （1） 按照一般的线性代数方法可以得到（1）式的解答为 （2） 振型叠加法 利用（2）式，可以将原文体转换为以φ1，φ2和φ3为基向量的 3个互不耦合的运动方程，即： （3） 原系统的初始条件是 经转换后为 （4） 振型叠加法 利用无阻尼情形的杜哈美积分可以得到（3）式的精确解为： （5） 最后利用振型叠加得到系统的位移为 （6） 振型叠加法 根据（6）式计算得到每一时间步长的位移值如下： 对于△t＝T3/10＝0.363时，算得位移值： △t＝5T3＝18.14时，算得位移值： 此结果是系统响应的精确解，可以用来检验中心差分法和 Newmark方法的结果。对于△t＝0.363的情况，三者的比较见右图 由图可见，由于△t较小，两种 直接积分法的结果都相当好。 而对于△t＝18.14的情况，由于 △t已相当大，虽然此时 Newmark方法的解仍然保持稳 定，但误差较大。 大型特征值问题的解法 反迭代法 算法简单比较适合于只要求得到系统的很少数目特征值的情况 子空间迭代法 求解大型矩阵特征值问题的最常用且有效的方法，它适合于求解 部分特征值，被广泛应用于结果动力学的有限元分析中。 里兹向量直接叠加法 直接产生一组里兹向量，对运动方程进行缩减，求解缩减了的运 动方程，进而得到原系统方程的特征解。 Lanczos方法 直接产生一组Lanczos向量，对运动方程进行缩减，求解缩减了 的运动方程，进而得到原系统方程的特征解。 减缩系统自由度的方法 Guyan缩减法 又称为主从自由度法，通常不宜分析高阶的频率和振型。 动力子结构法 又称为模态综合法，它能够大幅度地缩减动力分析的规模。大 型复杂系统分析如果采用动力子结构方法，计算效率将成量级 的提高。现今大型动力系统分析中广泛采用的就是该方法。 旋转周期分析方法 在理论上，分析中未引进自由度缩减方法所带来的近似性，因此 可以得到和整体结构分析时相同的精度。但它有局限性，只能用 于具有旋转周期的结构，不如子结构法应用范围广泛。 小 结 在结构动力学有限元求解方程的解法中，关于二阶常微分方程组的直