[数学]第九章 第五节 空间距离.ppt

解：(1)∵CD∥AB， ∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)． 作AP⊥CD于点P，连结MP. ∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP. ∵∠ADP＝ ，∴DP＝ ∵MD＝ ∴cosMDP＝ ,∠MDC＝∠MDP＝ ∴AB与MD所成角的大小为 (2)∵AB∥平面OCD， ∴点B和点A到平面OCD的距离相等． 连结OP，过点A作AQ⊥OP于点Q. ∵AP⊥CD，OA⊥CD， ∴CD⊥平面OAP， ∵AQ?平面OAP，∴AQ⊥CD. 又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离． ∴点B到平面OCD的距离为 * (3)因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由(1)知，PD⊥平面ABM于M，则|DM|就是D点到平面ABM的距离．因为在Rt△PAD中，PA＝AD＝4，PD⊥AM，所以M为PD中点，DM＝2 ，则O点到平面ABM的距离等于 . 关于空间距离的相互转化 空间的线线距离通常可转化为线面距离或者是面面距离；而线面距离和面面距离又可转化为点面距离，然后将这点的位置选择恰当，可简化图形，简化运算，其关系如下： 1．线面距离?点面距离?点线距离?两点间距离； 2．面面距离?点面距离?点线距离?两点间距离； 3．异面直线的距离?线面距离?点面距离?点线距离 ?两点间距离． 如图所示，已知ABC－A1B1C1是正三棱柱，E、E1分别是AC和A1C1的中点． (1)求证：平面AB1E1∥平面BEC1； (2)当该棱柱各棱长都为a时， 求(1)中两个平行平面间的距离． [思路点拨] (1)可转化为证BE∥平面AB1E1，EC1∥平面AB1E1； (2)找到两个平行平面的公垂线，解三角形或转化为点到平面的距离求解． [课堂笔记]　(1)因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中E、E1分别是AC和A1C1的中点， 所以AE C1E1， 所以AEC1E1是平行四边形， 所以EC1∥AE1. 又因为AE1?平面AB1E1， EC1?平面AB1E1， 所以EC1∥平面AB1E1. 连结E1E，因为EE1 CC1，CC1 BB1， 所以EE1 BB1， 所以BB1E1E为平行四边形， 所以BE∥B1E1. 又因为B1E1?平面AB1E1， BE?平面AB1E1， 所以BE∥平面AB1E1. 又BE∩EC1＝E， 所以平面AB1E1∥平面BEC1. (2)取CC1的中点F， 连结A1F分别交AE1，EC1于M，N. 因为各棱长都为a， 所以ACC1A1为正方形， 所以A1F⊥EC1，A1F⊥AE1. 因为E为AC中点，所以BE⊥AC. 又因为平面ABC⊥平面ACC1A1， 所以BE⊥平面ACC1A1，所以BE⊥A1F. 又因为EC1∩BE＝E，EC1?平面BEC1， BE?平面BEC1， 所以A1F⊥平面BEC1. 又平面BEC1∥平面AB1E1， 所以A1F⊥平面AB1E1， 所以A1F为平面AB1E1和平面BEC1的公垂线， MN为这两个平面的公垂线段，求得MN＝ a. 所以平面AB1E1与平面BEC1的距离为 a. 　 以选择题或填空题的形式考查空间两点间的距离、点到平面的距离的求法，或以解答题的形式考查点到平面的距离的求法是高考对本节内容的常规考法，09年重庆高考以解答题的形式考查了直线与平面的距离，也是高考的重要考查方向． [考题印证] (2009·重庆高考)(12分)如图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，∠BAD＝ ，CD＝AD＝2.四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC＝3，ED＝ 求： (1)直线AB到平面EFCD的距离； (2)二面角F－AD－E的平面角的正切值． 【解】　(1)因为AB∥DC， DC?平面EFCD，所以直线AB 到平面EFCD的距离等于点A 到平面EFCD的距离．如图， 过点A作AG⊥FD于G.因∠BAD＝ ，AB∥DC，故CD⊥AD.又FA⊥平面ABCD，由三垂线定理知CD⊥FD，故CD⊥平面FAD，知CD⊥AG. 故AG为所求的直线AB到平面EFCD的距离．(3分) 在Rt△FDC中，FD＝ 由FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，从而在Rt△FAD中， FA＝ ＝1， 所以，AG＝