[数学]第九章二阶常微分方程级数解法 本证值问题.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * p261§9.3 7. 在 x = 0 的邻域求解 xy”+y=0 * * xy2”+y2=0 * * A1 * * * §9.4 3.(2) 求解本征值问题，并求出模的平方 * * * 0 0 * * * w y o π/2 π 3π/2 y = tan w y = l/(hw) w1 w2 w3 2π * P242,§9.2, 习题3. * * * * * * * * * * * * * * * * * 得到一个无限级数解 令任意 常数 后面将详细讨论 Bessel 函数的特性。 ?阶 Bessel 函数 收敛半径 ii) 求 只要在 中 ? -? 得到另一个无限级数解 -?阶 Bessel 函数 收敛半径： 的收敛范围： 应用中，用 和 的线性组合构成 Bessel 方程第二个特解： 取c1=ctan ??, c2=-csc ??, 一般解： ? 阶 Neumann 函数 一般解： （II） i） 2? =2m, 即 ? = m, (m=1, 2, 3, ….)第一个解仍是 Jm(x)。 对第二个解(? ? -m) , a)若用 自 k = 2m 起递 推方程失效! 除非 当 递推公式成为 此时 可为任意常数， 继续可用递推公式算出后面的系数，将解写作： 最多相差一个常数因子，即： 此时令 得 由于v(x)之递推公式同 b) 若在 Jm(x)中m→ -m k = l + m k = m 时 l =0 k 从 m 开始! 亦取 m 阶 Neumann 函数 整数阶Bessel 方程的一般解： ii) 2? =2l+1 (l=0,1,2,3,…) ? = l+1/2, 半奇数： l=0 x0 的系数方程—判定 s2-(1/2)2 =0 k… 共k+1项 …1 0 但 A=0 [A=0由y2(z)代入Bessel 方程求出] 一般, 常数 A=0, 因此（l+1/2) Bessel 方程线性独立解为： 半奇数 阶 Bessel 函数可用初等函数表示： 可以证明公式： 2? =2m=0 当 l = 0 小结: (I) (II) i） 2? =2m (m=1, 2, 3,….) ii) 2? =2l+1 (l=0, 1, 2, 3,….) iii) 2? = 2m= 0 §9.4 施图姆-刘维尔(Sturm-Livouville) 本征值问题 Sturm-Livouville 方程 Sturm-Livouville 本征问题=S-L方程+边界条件 本征值问题—求满足自然和给定边界条件的本征 值和本征函数的问题 ① ② 本征函数： 本征值： Legendre 方程的本征值问题 ③ 作变换 方程成为标准Bessel 方程 Bessel 方程的本征值问题 i) 若k(x)0, q(x)0, ——正则S-L本征问题 ii) 如果端点 x=a 和(或) x=b是 k(x) 的零点, 则 x=a 和(或) x=b 是方程的奇点，在 x=a 和(或) x=b 处一定存在 自然边界条件！ ——奇异S-L本征问题 iii) ——周期