[数学]第二章 逻辑代数基础.ppt

第二章 逻辑代数基础 逻辑代数是描述/分析/设计数字逻辑电路的数学工具。运用逻辑运算可以设计最简逻辑电路。 2.1 逻辑代数的基本概念 逻辑代数：是由逻辑变量集、常量“0”、“1”及“与”、“或”、“非”等运算符号、函数、表达式等构成的代数系统。利用逻辑代数可以描述任何复杂的电路中条件与输出结果间的逻辑关系。 逻辑代数中也用字母表示变量,这种变量称为逻辑变量。变量的取值只能是1或0，代表逻辑电路中两种不同的逻辑状态，如开关的闭合与打开，电路的导通与截止，电压与电流的有或无等。 1、基本逻辑运算1）逻辑“与”运算 　　对于逻辑问题，如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，则这种因果关系称之为“与”逻辑。逻辑代数中，“与”逻辑关系用“与”运算描述。 “与”运算又称为逻辑乘，其符号为“·”、“∧”、“AND”。 　　　 　　　　　　　　逻辑表达式：F=A·B=A∧B= 举例 2）逻辑“或”运算 　　对于逻辑问题，如果决定某一事件发生的多个条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。逻辑代数中，“或”逻辑关系用“或”运算描述。 “或”运算又称为逻辑加，其符号为“+”、“∨”、“OR”。 　　　逻辑表达式：F=A+B=A∨B= 3）逻辑“非”运算 　　对逻辑问题，如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。 逻辑“非”又称为逻辑反运算. 运算符号：“ — ”（上面加横线） 　　　逻辑表达式为： F= = 3、逻辑函数 在数字电路中，如某一输出变量与一组输入变量存在着一定对应关系，即输入变量取任意一组确定的值，输出变量的值也就唯一地被确定，则称这种关系为逻辑函数关系。设输入变量为A1,A2,…An,输出变量为F，则：F=f(A1,A2, …An)。 注意：1.无论自变量或函数均只能取0或1两值。函数和自变量的关系只能由“与”、“或”、“非”三种基本运算来定义。 2.设F1=f１(A1,A2, …An)，F2=f２(A1,A2, …An)，若对应于A1,A2, …An的任何一组取值，F1和F2的值都相同，则称函数F1和F2相等，记成F1=F2。 2.2 逻辑代数的公理、定理及规则 1.公理系统： (满足一致性、独立性和完备性) 　　交换律：A+B=B+A，A?B=B?A； 　　结合律：(A+B)+C=A+(B+C); (A?B)?C=A?(B?C) 　　分配律：A+(B?C)=(A+B)?(A+C) A?(B+C)=A?B+A?C 　　0-1律：A+0=A，A?1=A；A+1=1，A?0=0 　　互补律：A+A=1，A?A=0 2、基本定理(由上述公理推出下述基本定理) 定理1：0+0=0，1+0=1，0+1=1，1+1=1 0·0=0，1·0=0，0·1=0，1·1=1 证明：由公理4(0-1律)，分别以0和1代替A， 　　　可得上述各式。 推论：1=0，0=1 证明：由公理5(互补律)，分别以0和1代替A， 　　　可得上述两式。 定理2：A+A=A，A·A=A （重叠律） 证明：A+A=(A+A)·1 公理4（0-1律） =(A+A)·(A+A) 公理5（互补律） =A+(A·A) 公理3（分配律） =A+0 公理5 =A 公理4 证明：A·A=A·A+0 公理4 =A·A+A·A 公理5 =A(A+A) 公理3 =A 公理4 定理3： A+A?B=A （吸收律） 证明：A+A?B=A?1+A?B 公理4（0-1律） =A?(1+B) 公理3 （分配律） =A?1 公理4 =A 公理4 A?(A+B)=A 证明：A?(A+B)=A?