[数学]第二章矩阵.ppt

函数与极限 一、矩阵 矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两种形式的矩阵方程： 若A是行列式不等于0的n阶矩阵， 则这两个方程都有唯一解。 （2）矩阵方程 (Ⅰ)的解法： (Ⅱ)的解法：对两边转置化为(Ⅰ)的形式： 再用解(Ⅰ)的方法求出 ，转置得X。 矩阵方程的另一种解法： 这种解法计算量大，多了一次矩阵乘积运算。 例7 设 ， 求 X。 例8 设 矩阵A满足 求 A。 ①求 的方法（初等变换法） ②伴随矩阵 若A是n阶矩阵，记 是 的 位元素 的代数余子式， 规定A的伴随矩阵为 (3) 逆矩阵的求法和伴随矩阵 规定伴随矩阵不要求A可逆，但是在A可逆时， 和 有密切的关系。 基本公式： 当A可逆时， 或 因此，可通过求 来计算 。这就是求逆矩阵的伴随矩阵法。 和初等变换法相比，伴随矩阵法的计算量要大得多，除非n=2，一般不用它来求逆矩阵，对于2阶矩阵， 伴随矩阵的其他性质： ① 如果A是可逆矩阵，则 也可逆，并且 ② ③ ④ ⑤ ⑥ 例9（04）设矩阵 ，矩阵B满足 ，其中 为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 _______ 例10（02） 设A，B都是n阶矩阵， ，则 （ ） A. B. C. D. D 六、 矩阵乘法的分块法则 一般法则：在计算两个矩阵和的乘积时，可以先把和用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向分割与B的横向分割一致。 两种常用的情况 1、A，B都分成4块 其中 的列数和 的行数相等， 的列数和 的行数相等。 2、准对角矩阵 如果 都是方阵，则称 为准对角矩阵。两个准对角矩阵 如果类型一样，即 和 的阶数相等，则 如果准对角矩阵A的每个 都可逆，则A也可逆，并且 例11（91数学三）设A和B分别为m阶和n阶可逆矩 阵， ，求 。 结论： * 联合班—线性代数教案 华南理工大学广州学院 第二讲 矩阵 考试大纲要求 （一）考试内容 矩阵的概念； 矩阵的线性运算； 矩阵的乘法；方阵的幂； 方阵乘积的行列式； 矩阵的转置；逆矩阵的概念和性质； 矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵； 矩阵的初等变换； 初等矩阵；矩阵的秩； 矩阵的等价； 分块矩阵及其运算。 3、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵 。 4、理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法 。 5、了解分块矩阵及其运算 。 （二）考试要求 1、理解矩阵的概念，了解单位矩阵，对角矩阵，三角矩阵，对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。 2、掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质 。 对角线上元素的行标、列标相等 对角矩阵 单位矩阵 数量矩阵 几类常用的n阶矩阵： 上三角矩阵 下三角矩阵 转置 的转置 转置的运算规律： 对称矩阵： 反对称矩阵： 定义：设A与B是两个矩阵。 如果A的列数等于B的行数，则A可以乘B，乘积也是一个矩阵，记作AB。 当A是 矩阵，B是 矩阵时，AB是 矩阵。 AB的 位元素是A的第 行和B的 第列对应元素乘积之和。 二、矩阵的乘法 例 遵循的规律 ①线性性质 ②结合律 矩阵乘法与数的乘法的不同之处 : ①无交换律 例如 ②无消去律 当 时 或 由 和 由 时 （无消去律） 常见错误：把数的乘法的性质搬到矩阵乘法中来 例1 设 是3维列向量，满足