[数学]第五章插值型数值微分与数值积分.ppt

* 第五章 插值型数值微分与数值积分 5.1 插值型数值微分公式 5.2 插值型数值积分　　 5.1 插值型数值微分公式 故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算，以便估计误差。 这类公式称为插值型数值微分公式。 当 x 为插值节点xi 时，上式简化为 一般地 5.1.1 常用的数值微分公式 即 1.两点公式(n=1) 这称为两点公式。 两点公式的截断误差为 这里 2.三点公式(n=2) 这称为三点公式，其中（5—4b）又称为中点公式。 三点公式的截断误差为 这里 进一步由 可得计算公式 为估计二阶导数数值微分公式的误差，可设 f (x) 四阶连续可微，故得 从而得到误差估计式 二阶导数的截断误差 例1：已知列表 x 2.5 2.55 2.60 2.65 2.70 y 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317 解: h=0.05 例 5.1 为计算 在 x=2 处的一阶导数值，我们可选用中点公式 当计算保留四位小数时，得到计算结果如表5-1(书103页）。 而精确值为 ，可见当 h=0.1时近似结果最好，步长太大或太小计算效果均不好。 5.2 插值型数值积分 f(xn) xn f(xi+1) xi+1 f(xi) xi f(xi-1) xi-1 --- --- f(x1) f(x0) --- --- x1 x0 2.由下列列表函数求L-插值多项式 称为插值型求积公式， 称为求积节点， 称为求积系数，其和 5.2.1 Newton-Cotes公式 则 ， 考虑等距节点的情形 ——牛顿-柯特斯公式 Cotes系数 n=1,2,4的N-C公式 这称为梯形公式； 几何意义：用梯形面积 代替f(x)作为曲边的曲边 梯形面积。 图1 梯形公式 a b 这称为Simpsion公式 图2 Simpson公式 a b 几何意义：用抛物线 作曲边的曲边 梯形面积代替f(x)作 为曲边的曲边梯形面积。 对应于 情形的Cotes系数见表5-2 (书106页)。 这称为Cotes公式。 求积公式的稳定性分析 5.2.2 复合求积公式 当取 m=1 时，称为复合梯形公式，简记为Tn 1.复合梯形公式=1为 当取 m=2 时，称为复合Simpson公式，简记为Sn 2.复合Simpson公式 当取 m=4 时，称为复合Cotes公式，简记为Cn(公式见书107页）） 3.复合Cotes公式 例 5.2 试利用表5-3的函数表，分别用复合梯形公式、复合Simpson公式和复合Cotes公式计算定积分 解：1. 写出公式 2.确定h 3.列表 k xk f(xk) T8 S4 C2 0 0 0.000 000 1 1 7 1 1/8 0.110 312 2 4 32 2 1/4 0.194 700 2 2 12 3 3/8 0.257 733 2 4 32 4 1/2 0.303 265 2 2 14 5 5/8 0.334 538 2 4 32 6 3/4 0.354 275 2 2 12 7 7/8 0.364 754 2 4 32 8