[数学]第六编 数列 62.ppt

* 要点梳理 1.等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 . §6.2 等差数列及其前n项和 从第二项起每一项与它相邻前面一项 的差是同一个常数 公差 d an=a1+（n-1）d 基础知识 自主学习 3.等差中项 如果 ，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am+ ，（n，m∈N+）. （2）若{an}为等差数列，且k+l=m+n，（k，l，m，n∈N+），则 . （3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为 . （4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}是 . 2d ak+al=am+an (n-m)d 等差 数列 （5）若{an}是等差数列，则ak，ak+m， ak+2m，…（k，m∈N+）是公差为 的等差数列. 5.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn= 或Sn= . 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn= . 数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f（n）是n的 ，即Sn= . md An2+Bn，（A2+B2≠0） 二次函数或一次函数且不含常数 项 7.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最 值；若a1＜0,d＞0,则Sn存在最 值. 8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质 （1）若{an}是等差数列，则 也成 数列， 其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的 . （2）Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项， 前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成 数列. 小 等差 等差 大 (4)两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间 的关系为： = . 题型一 等差数列的判定 【例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn (p、q∈R，且p、q为常数). （1）当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列； （2）求证：对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. (1)由定义知,{an}为等差数列,an+1-an 必为一个常数. (2)只需推证(an+2-an+1)-(an+1-an)为一个常数. 思维启迪 题型分类 深度剖析 (1)解 an+1-an=［p(n+1)2+q(n+1)］-(pn2+qn) =2pn+p+q, 要使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的 常数,所以只有2p=0,即p=0, . 故当p=0 , 时，数列{an}是等差数列. (2)证明 ∵an+1-an=2pn+p+q, ∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, ∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数. ∴{an+1-an}是等差数列. 题型二 等差数列的基本运算 【例2】在等差数列{an}中， （1）已知a15=33,a45=153,求a61; （2）已知a6=10,S5=5，求a8和S8； （3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0, 求a1. 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d. 思维启迪 解 （1）方法一 设首项为a1,公差为d,依条件得 33=a1+14d a1=-23, 153=a1+44d d=4. ∴a61=-23+(61-1)×4=217. 方法二 由 由an=am+(n-m)d, 得a61=a45+16d=153+16×4=217. ,解方程组得 （2）∵a6=10,S5=5,∴ 解方程组得a1=-5,d=3, ∴a8=a6+2d=10+2×3=16, a1+5d=10 5a1+10d=5. S8=8× =44. (3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有 (a-d)+a+(a+d)=12 (a-d)·a·(a+d)=48, a=4 a=4