[数学]线性代数 5.ppt

第四章 线性方程组的解 线性方程组解的存在性 线性方程组解的结构 1.线性方程组的初等变换 3.小结 练习 二、基础解系及其求法 三、非齐次线性方程组解的性质 四、小结 思考题 思考题解答 一.齐次线性方程组解的性质 性质1若 为 的解，则 也是 的解. 证明 4.2.1齐次线性方程组解的结构 4.2线性方程组解的结构 　　性质2若 为 的解， 为实数，则 　　　 也是 的解． 证明 　　由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间． 证毕. １．基础解系的定义 ２．线性方程组基础解系的求法 　　设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 个列向量线性无关． 于是 可化为 现对 取下列 组数： 依次得 从而求得原方程组的 个解： 　　下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基． 由于 个 维向量 线性无关， 所以 个 维向量 亦线性无关. 由于 是 的解 故 也是 的 解. 所以 是齐次线性方程组解空间的一个基. 说明 １．解空间的基不是唯一的． ２．解空间的基又称为方程组的基础解系． 　　３．若 是 的基础解系，则 其通解为 定理1 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解 　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 例2 解线性方程组 解 对系数矩阵施 行初等行变换 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量. 所以原方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为 例3 证 证明 １．非齐次线性方程组解的性质 证明 证毕． 　　其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解. ２．非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为 ３．与方程组 有解等价的命题 线性方程组 有解 ４．线性方程组的解法 （1）应用克莱姆法则 （2）利用初等变换 　　特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题． 　　特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法． 例4 求解方程组 解 * * 4.1线性方程组解的存在性 4.1.1非齐次与齐次线性方程组 齐次线性方程组： 非齐次线性方程组： 若 为方程 的 解，则 称为方程组的解向量。 则矩阵B称为方程组的增广矩阵． 若记 4.1.2线性方程组解的存在定理 若 为方程组 的解 则 则 例1 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等变换， 故方程组无解． 解 1.高斯消元法 引例 求解线性方程组 线性方程组的解法 用“回代”的方法求出解： 称为方程组的通解。 　　因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换． 用“回代”的方法求出解： 2.高斯-约当消元法 例2 求解齐次线性方程组 解 即得与原方程组同解的方程组 即 例３ 求解非齐次方程组的通解 解 对增广矩阵B进行初等变换 故方程组有解，且有 所以方程组的通解为 增广矩阵 一般,设有线性方程组 ( ) ( ) B r A r ? ? 无解. b Ax = ( ) ( ) B r A r = ? 有解. b Ax = ( ) ( ) n B r A r = = ? ( ) ( ) n B r A r = ? 有无穷多解. b Ax = ( ) ( ) n B r A r = = ? ( ) ( ) n B r A r = ? 有无穷多解. b Ax = 非齐次线性方程组 齐次线性方程组 ( )