[数学]线性代数§51.ppt

性质2: n阶方阵A和 证明: AT 的特征多项式相同， 从而特征值相同. 例4：（简单结论） （1）若方阵A不可逆，则A至少有一个特征值为0； （2）若 则 1 或－1 是 A 的特征值. （3）若 则 1 或 0 是 A 的特征值. （4）若 则 A 的特征值为0. 例5：设矩阵 则 A 的特征值是： （A）1，0，1 ； （B）1，1，2 （C）－1，1，2； （D）－1，1，1 C 解：因为| A | 0, 故A可逆. 则 是A-1的一个特征值. –3是A的一个特征值. 又由ATA = 2E 得, | ATA |=| 2E |=16, 而| ATA | = | A |2, 于是| A | = ?4, 是A*的一个特征值. 从而, 但 | A | 0, 故| A | = –4, 由| A+3E | = 0知, 例6： 设4阶方阵A满足条件: | A+3E | = 0, ATA = 2E , | A | 0, 求A*的一个特征值. 例7: 设矩阵A, P都是三阶方阵，已知A的特征值为: 求: 解: B的特征值 于是 A+5E 的三个特征值分别为： 所以 | A+5E | = 6×4×7 = 168 例8：设 是矩阵A不同特征值的特征向量，证明 不是A的一个特征向量. 证明：用反证法. 假设 是矩阵A的对应于特征值 的特征向量， 即有 由题设又有： 从而有 于是 即 因为 所以 线性无关，于是得到 从而 矛盾！ 例9：设矩阵 （1）求A的特征值和特征向量； （2）求可逆矩阵P，使P-1AP 为对角阵. 解：（1） * §5.1 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念及求法 定义: 设A是复数域上的 n 阶方阵, 如果数 ? 和 n 维非零列向量 x 使关系式 A x = ? x 成立, 那末数 ? 称为方阵A的特征值, 非零向量x 称为 A 的属于(对应于)特征值 ? 的特征向量. 说明2: 特征向量 x 一定是非零向量. 说明1：特征值问题是对方阵而言的; ※ 当 x = 0 时，对任意 都有 成立， 对讨论特征值无意义. 说明3: n阶方阵A的特征值, 就是满足方程| A–?E | = 0 的? ，与之对应的特征向量就是齐次线性方程 组(A–?E)x = 0 的非零解。 由于特征方程| A–?E | = 0, 故齐次方程组(A–?E)x = 0 有非零解. 因此, 求出特征值?对应的基础解系即可求出所有特征向量. 说明4: 方程| A–?E | = 0 ? 称以?为未知数的一元n次方程| A–?E | = 0为方阵A的特征方程. 记f(?) = | A–?E |, 它是?的n次多项式, 称其为方阵A的特征多项式. n次代数方程有n个根(复根和实根, 重根按重数计算), 即n阶方阵有n个特征值（在复数范围内）. 特征多项式也可以是 | ?E－A |, 特征方程也可 以是| ?E－A | = 0. 说明5:方阵的特征向量总是相对于方阵的特征值而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一, 但一个特征向量不能属于不同的特征值. 因为, 如果设向量x同时是A的属于不同特征值的?1, ?2 (?1??2)的特征向量, 即有 Ax = ?1x, Ax = ?2x, 则有, ?1x = ?2x. 即( ?1 – ?2 ) x = 0. 由于( ?1 – ?2 ) ? 0, 则 x = 0, 这与x是特征向量矛盾. 例1: 求 的特征值和特征向量. 解: A的特征多项式为: = (3–?)2 –1 所以, 该方阵A的特征值为: ?1 = 2, ?2 = 4. = 8 – 6? + ?2 = (4 – ?)(2 – ?) 当 ?1 = 2 时, 对应的特征向量应满足: 即 解得 x1=x2, 故特征值?1=2对应的特征向量为: x=c (c?0). 当 ?1 = 4 时, 对应的特征向量应满足: 即 解得x1=-x2, 故特征值?2=4对应的特征向量为: x=c (c?0). 例2: 求矩阵A = 的特征值和特征向量. 解: 矩阵A的特征多项式为: | A–?E | = = (2–?)(1–?)2, 所以A的特征值为: ?1=2, ?2=?3=1. 当?2=2时, 解方程组( A–2E )x = 0. 由 得基础解系 故对应特征值?1=2的所有特征向量为 kp1 (k?0). 当?2=?3=1