[数学]第六章 离散系统的z域分析.pdf

第六章 离散系统的z域分析 第三章中我们讨论了离散时间系统的时域分析法,重 点介绍了差分方程的求解方法。在连续时间系统中,为避 免求解微分方程的困难,可以通过拉氏变换把微分方程转 换为复频域的代数方程。基于同样的理由,在离散时间系 统中,为了避开求解差分方程的困难,也可以通过一种称为 Z变换的方法,把差分方程转换为Z域的代数方程。 因此,Z变换在离散系统分析中的地位和拉氏变换在连 续系统分析中的地位是相似的。 Z变换可以直接从数学角度进行定义；也可以利用 拉普拉斯变换引出。 §6.1 z变换 一、从拉普拉斯变换到z变换 由§4.8可知，对连续时间信号进行均匀冲激取样 后，就得到离散时间信号。 取样信号可写为： ∞ ∞ f (t ) f (t )δ (t ) f (t ) ∑δ(t −kT ) ∑f (kT )δ(t −kT ) s T k −∞ k −∞ 取上式的双边拉普拉斯变换，考虑到： L [δ(t −kT )] e−ksT 其双边拉普拉斯变换为： b ∞ F (s) L [f (t)] ∑f (kT )e−ksT 令z e sT b s k −∞ 上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示，即 1 ∞ F (s) L [f (t)] ∑f (kT )e−ksT 令z e sT b s k −∞ ∞ F (z ) ∑f (kT )z −k 序列f(kT)的双边z变换 k −∞ F (z) sT F (s) 取样信号f (t)的双边拉氏变换 z e s sT ⎧z e 复变量z与s的关系是：⎨ 1 ⎩s ln z T 为了简便，序列仍用f(k)表示，如果序列是由连续信号 f(t)经取样得到的，那么 f (k ) f (kT ) f (t ) t kT 其中T为取样周期（或间隔）。 ∞ F (z ) ∑f (k )z −k k −∞ 2 二、z变换 如有离散序列f (k )(k 0,±1,±2, L) z为复变量，则函数 ∞ F (z) ∑f (k )z −k 称为序列f(k)的双边z变换。 k −∞ 如果求和只在k的非负值域进行，即 ∞ F (z) ∑f (k )z −k 称为序列f(k)的单边z变换。 k 0 ∞ 还可以写成 F (z ) ∑f (k )ε(k )z −k k −∞ 可见，如果f(k)是因果序列，则单、双边z变换相等。 Z变换简记为： f ( k ) ↔ F