[数学]第四部分 离散与马氏链模型.ppt

所以，若平衡状态为 转移概率矩阵为P， 则 两端取转值得 又若初始状态 且 则 由（2）与（3）两式联立求解可得平衡状态 在（2）式中，矩阵（PT-E）的第1至第N行之和等于零向量，所以矩阵（PT-E）的N个行向量线性关系，即rank(PT-E)N 可在（2）中，去掉矩阵（PT-E）的某一行后，将所得方程与（3）式联立，即可求得平衡状态 在案例1中，求味精的市场占有率达到平衡状态时A，B，C三个厂味精的市场占有率。 分析：因为转移概率矩阵为 又初始状态 去掉方程组（4）中系数矩阵的任一行，如第一行后，将所得的方程组再与(5)式联立方程 设平衡状态为 所以 a=0.3+0.2+0.5=1 解方程组（6）得，x1=0.5,x2=0.25,x3=0.25 平衡状态为 即A厂的市场占有率稳定在50%，B厂的市场占有率为25%，C厂的市场占有率也为25%。 由此可见，系统的平衡状态仅与转移概率有关而与系统的初始状态无关。 总之，在使用马尔可夫过程预测时，应注意以下事项： （1）状态转移仅受上一期状态的影响，而与上期之前的状态无关，即系统无后效性。例如，下期的市场占有率仅受相邻的上期市场占有率的影响，而与上期之前的市场占有率无关。 (3)预测期间，状态向量的维数应保持不变。此外，状态向量各分量所对应的事件相互独立，且构成完备事件组。例如在例1中，反映味精销售状况的状态向量的三个分量所对应的事件分别为A，B，C三个厂生产的味精，显然它们互斥，并且假定市场上销售的味精全部是这三个厂生产的味精 。 (2)预测期间，转移概率矩阵不随时间的变化而改变，即系统为稳定的马尔可夫过程。 第四部分 离散与马氏链模型 4.3 健康与疾病 通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质 例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7， 4.3 健康与疾病 人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制订保险金和理赔金的数额 若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率 Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, …无关 状态与状态转移 状态转移具有无后效性 1 2 0.8 0.2 0.3 0.7 n 0 a2(n) 0 a1(n) 1 设投保时健康 给定a(0), 预测 a(n), n=1,2… 设投保时疾病 a2(n) 1 a1(n) 0 n??时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关 3 … 0.778 … 0.222 … ∞ 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 … 0.3 0.33 0.333 … 7/9 2/9 状态与状态转移 1 2 0.8 0.2 0.3 0.7 1 0.8 0.2 2 0.78 0.22 1 2 3 0.1 0.02 1 0.8 0.25 0.18 0.65 例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1~ 健康, Xn=2~ 疾病 p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡为第3种状态，记Xn=3 健康与疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1 n 0 1 2 3 ? a2(n) 0 0.18 0.189 0.1835 ? a3(n) 0 0.02 0.054 0.0880 ? a1(n) 1 0.8 0.757 0.7285 ? 设投保时处于健康状态，预测 a(n), n=1,2… 不论初始状态如何，最终都要转到状态3 ； 一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 则对于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即从状态3不会转移到其它状态。 状态与状态转移 0 0 1 ? 50 ? 0.1293 ? 0.0326 ? 0.8381 ? 马氏链的基本方程 基本方程 马氏链的两个重要类型 1. 正则链 ~ 从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态（如例1）。 w ~ 稳态概率 马氏链的两个重要类型 2. 吸