[数学]线性代数PPT2-2.ppt

例12 设Ａ,Ｂ均为３阶方阵且 解 注意 行列式与矩阵的区别. * 6.初等矩阵 定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵， 称为初等矩阵（初等方阵）. * 三种初等变换对应着三种初等矩阵，以3阶单位阵为例予以说明. (i)互换E的i、j两行（或i、j两列),记E（i, j ） 例如 * (ii)E的第i行（或第i列）乘以不等于零的数k，得 (iii)把E的第j行的k倍加到第i行上（或第i列的k倍加到第j列上）， 得 例如 例如 * 性质 初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵. 矩阵的初等变换与初等矩阵有着非常密切的关系. 有了初等矩阵则可以用等式来描述矩阵化简的过程. 初等矩阵性质和有关定理 例如 初等矩阵 定理2.2.1 设A是m行n列矩阵，则 (1)对A施以一次初等行变换所得到的矩阵，等于用同种m阶初等矩阵左乘A. (2)对A施以一次初等列变换所得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘A. * 例如 例13 注 ① 化简过程表明，某些矩阵仅经过一系列行变换，即 可化为标准形矩阵；② 如果设P7P6P5P4P3P2P1=P，那么PA=E. ③ 若经过一系列行和列变换化为标准形，即 Pk?P2P1AQ1Q2?Qm=E，令Pk ? P2P1＝P,Q1Q2 ? Qm=Q,那么有PAQ=E. * 解 * 例题续 * §2.2 方 阵 本节将介绍几类特殊方阵，讨论方阵运算，n阶矩阵的行列式及初等矩阵. * 1.方阵概念 定义2.2.1 由n2个数排成的n×n矩阵 * 称为n阶方阵.记作 A=(aij ), i，j=1，2，…，n 或 方阵的迹 定义2.2.2 由方阵左上角元素到右下角元素表示的位置称为方阵的主对角线，主对角线元素的和称为方阵的迹，记作 * 以上3阶方阵的迹为1+0+9=10 n阶方阵的迹为1+0+…+1=n. 例1 2.几种常用的特殊方阵 （1）对角阵 （2）数量阵 （3）单位阵和零阵 （4）上（下）三角阵 * (1)对角矩阵 * 定义 所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为 对角矩阵. 是一个四阶对角矩阵. 当对角线元素都相等时有： * (2)数量矩阵 定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等， 则称此矩阵为n阶数量矩阵,或标量矩阵. 例1 * (3)单位矩阵与零阵 定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都是1， 则称此矩阵为n阶单位矩阵. 单位矩阵在方阵运算中 起到数字“1”的作用. 当a=0时, n阶零阵在方阵运算中 起到数字“0”的作用. (4)三角形矩阵 * 定义 如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零， 则称此矩阵为上三角矩阵. 如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零， 则称此矩阵为下三角矩阵. A为n阶上三角矩阵；B为n阶下三角矩阵. （4） 线性变换矩阵 例2 (线性变换的系数矩阵) * 称此矩阵为上述线性变换的系数矩阵. 线性变换的系数矩阵 * 称此矩阵为线性变换的系数矩阵. 线性变换与矩阵之间 存在着一一对应关系. 两个简单线性变换 恒等变换 对应一个n阶单位矩阵 * 对角变换 对应一个n阶对角矩阵 4. 方阵的运算 方阵的一般运算 方阵的幂 矩阵多项式 * 返回 （1）方阵的一般运算 方阵作为行数与列数相等的一类矩阵，同样可以进行矩阵的各种运算，并满足相应的运算律.方阵的和，差，数乘，乘积及转置矩阵仍为方阵. 例3 * 对称矩阵和反对称矩阵 * 定义 如果n阶矩阵A满足A=AT，则称A为对称矩阵. 对称矩阵A=（aij）中的元素满足aij=aji，i，j=1，2，…n即A中元素关于主对角线为对称. 性质（i）对称矩阵A与B的和也是对称矩阵; （ii）数乘对称矩阵仍为对称矩阵. 下面证明(ii) * 如 是一个三阶对称矩阵. 它的元素关于A的主对角线对称 注1 证(ii) 因为 AT=A,所以 (kA)T=kAT=kA, 即kA是对称矩阵. 两个同阶对称矩阵的乘积未必是对称矩阵. 对称阵 对称阵 非对称阵 注2 定义 如果n阶矩阵A满足AT =-A ，则称矩阵A为反对称矩阵. 性质（i）反对称矩阵A与B的和也是反对称矩阵 （ii）数乘反对称矩阵仍为反对称矩阵. * 对称矩阵A=（aij）中的元素满足aij=-aji，i，j=1，2，…,n，A中主对角线元素为零. 注1 因此反对称矩阵的主对角线上的元素一定为零. 如 两个同阶反对称矩阵的乘积不一定仍是反对称矩阵. * 注2 例