[数学]随机过程-1泊松过程.ppt

泊松过程 主讲教师 段禅伦 2008年秋季学期 第三章 泊松过程 泊松过程是一类较为简单的时间连续,状态离散的随机 过程.泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天 文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用. 3.1 泊松过程的定义和例 定义3.1 称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程, 若N(t)表 示到时刻t为止已发生的事件A的总数,且N(t)满足下列 条件: (1) N(t)≥0; (2) N(t)取正整数值; (3) 若s＜t,则N(s)≤N(t); (4) 当s＜t时, N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的事 件A的次数. 泊松过程的定义和例 如果计数过程N(t)在不相重叠的时间间隔内, 事件A发 生的次数是相互独立的,即若 t1＜t2≤t3＜t4 则在区间(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1),与在 (t3,t4]内事件A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,那么 此时的计数过程N(t)是独立增量过程. 如果计数过程N(t)在(t,t+s](s＞0)内,事件A发生的次 数N(t+s)-N(t),仅与时间差s有关,而与时刻t无关, 则 计数过程N(t)是平稳增量过程. 泊松过程是计数过程的最重要的类型之一,其定义是: 定义3.2 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊 松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件: 泊松过程的定义和例 (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) 在任一长度为t的区间中, 事件A发生的次数服从 参数λ＞0的泊松分布,即对任意s,t≥0,有 P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,n=0,1,2,…. 从条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]=λt. 由于: λ=E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均 个数,故称λ为泊松过程的速率或强度. 从定义3.2,我们看到:为了判断一个计数过程是泊松过 程,必须证明它满足条件(1),(2)和(3).条件(1)只是说 明事件A的计数是从t=0时开始的; 条件(2)通常可从我 泊松过程的定义和例 们对过程了解的情况去验证; 然而条件(3)的验证是非 常困难的. 为了方便应用,以下我们再给出泊松过程的 另一个定义. 定义3.3 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊 松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件: (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立、平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式: P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h). 定义3.3中的条件(3)要求: 在充分小的时间间隔内,最 多有1个事件发生, 而不能有2个或2个以上事件同时发 泊松过程的定义和例 生. 这种假设对于许多物理现象比较容易得到满足. 例3.1 考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫. 令X(t) 表示电话交换台在(0,t]时间段内收到的呼叫次数, 则 {X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故{X(t),t≥0} 是一个泊松过程. 其实对于任意的0≤t1＜t2＜…＜tn,随机变量X(t2)- X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)分别表示,在时间 段(t1,t2],(t2,t3],…,(tn-1,tn]内,电话交换台接到的 呼叫次数,它们是相互独立的,所以随机过{X(t),t≥0} 是一个独立增量过程. 而且对于任意的s＜t,随机变量X(t)-X(s)的分布可以 认为仅与t-s有关,故{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程. 泊松过程的定义和例 例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果 记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数, 则计 数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是一 个泊松过程. 例3.3 考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件. 若 机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机 点过程,该过程可以用泊松过程进行描述. 定理3.1 泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等 价的. 证明: 首先证明定义3.2蕴涵定义3.3. 比较两条定义,由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平 泊松过程的定义和例 稳增量