[数学]高数一微积分第5章.pdf

第五章 一元函数积分学 5.1 原函数和不定积分的概念 一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间 I 内，存在可导函数F （x）使 都有 F＇（x）=f （x）或dF （x） =f （x）dx，那么函数F （x）就称为f （x）在区间 I 内原函数。 例： ，sinx 是 cosx 的原函数。 Lnx 是 在区间（0，+∞）内的原函数。 原函数存在定理： 如果函数 f （x）在区间 I 内连续，那么在区间 I 内存在可导函数F （x），使 ， 都有 F＇（x）=f （x）。 简言之：连续函数一定有原函数。 问题：（1）原函数是否唯一？ （2）若不唯一它们之间有什么联系？ 例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx （C 为任意常数） 关于原函数的说明： （1）若F＇（x）=f （x），则对于任意常数C，F （x）+C 都是 f （x）的原函数。 （2）若F （x）和G （x）都是 f （x）的原函数，则F （x）-G （x）=C （C 为任意常数） 证∵[F （x）-G （x）] ＇=F＇（x）-G＇（x） =f （x）=f （x）=0 ∴F （x）-G （x）=C （C 为任意常数） 不定积分的定义： 函数 f （x）的全体原函数的集合称f （x）的不定积分，记为∫f （x）dx。 ,其中 ∫为 “积分号”，f （x）为被积函数，f （x）dx 为被积表 达式，C 为任意常数。 例：求 。 解： 例：求 。 解： 积分曲线 例 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此 曲线方程。 解：设曲线方程为 y=f （x）, 根据题意知 即 f （x）是2x 的一个原函数。 由曲线通过点（1，2） 2 所求曲线方程为 y =x +1。 函数 f （x）的原函数的图形称为f （x）的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分曲 线族。 不定积分的性质 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。 5.2 基本积分公式 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。 基本积分表 （1） ； （2） ； （3） ； 说明： 简写为 （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） ； （11） ； （12）