[文学]哈工大著名老师田波平课件8——概率论与数理统计-刘星斯维提整理.ppt

1 第七章 参数估计 引子：在总体分布类型已知or未知条件下，怎样利用样本来估计总体中分布参数or一些重要的数值特征。称之为参数估计。两类：点估计和区间估计。 §7.1 点估计 估计量：设θ为总体X的未知参数，怎样用样本X1，……Xn构造一个统计量 来估计θ，称 为θ的估计量。 估计值：对于具体的样本值x1,…xn,估计量 的值 称为θ之估计值 记为 。 为方便计，估计量与估计值均称为θ的估计。 若总体X有m上未知参数θ1，… ,θm需估计，需构造m个统计量 对之进行估计。 点估计：寻求未知参数的估计。 主要考察矩估计与似然估计，且考察估计量之好环。 一、矩估计：点估计时，若可以把未知数θ用总体矩 的函数表示为 则可用样本矩 估计总体矩 ，进而用样本矩的函数 作为未知参数θ的估计。 例1. 求总体X均值μ=EX和方差DX=62未知参数矩估计，X1，…，Xn 为未知总体X的一个样本。 解： 矩估计为： 例2.总体 求未知数P之矩估计。 解： p之矩估计为 事件之频率。 例3. 设母体X具有Γ分布，其pdf 为 其中 估计量 解： ① 　　　　　　　　　　　　　　　　② 　　　　　　　　　　　　　　　　③ ②－①2 ①÷③ β代入① 于是αβ之矩估计为： 例4.设总体X服从参数为N，P的二项分布，x1,…x2 为来自总体X的一个样本，求参数N，P的矩估计。 解： ① ② 由①②得： 于是N,P矩估计为： 二、极大似然估计（ML） 例1设有一批产品，其次品率为p(0p1),从中随机抽取100个，其中10个次品，试估计p的数值。 解:由题意X~B(1,P)。设x1,…,x100为来自总体X一个于样 思想：自然选择使此概率达到最大的p值为真正次品率的估计值。记 利用微积分 得 原则：选择参数p值使抽得的于样值出现的可能性最大，用这个值作为未知参数 P的估计值。此法为极大似然估计 or最大似然估计。 orLnL均称为极大似然函数。 例2.设总体X~P(λ)，x1,…，xn为其于样，求极大似然估计(λ)。 解： 令 于是λ的ML为 连续总体X的pdf为 其中 为未知参数，若取得于样值 ，考虑概率： 这里 为较小且固定量，易知 在 处值愈大，样本 在样本点 附近取值概率愈大，当 达到极大值而得到 估计 为其极大似然 估计。 orLnL为似然函数，方法：求偏导or定义。 例1.总体X~E(λ)，求λ的极大似然估计 解：似然函数 令 于是λ之MLE为 例2.设正态总体X~N(μ,σ2)， μ,σ2未知，求μ,σ2最大似然估计 令 σ2似然估计为： 例 3.总体X~∪[0，θ]，求θ的似然估计 似然函数 于是当 例4 .已知总体X~∪[θ1,θ2],x1,…,xn是取自X的一个样本，求θ1,θ2的矩估计和极大似然估计。 解： ① (1) ②