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[材料科学]现代设计方法基础-3弹性力学基础
* 按位移法求解平面问题(例题) 设有如图所示的杆件,在y方向的上端为固定,而下端为自由,受自重体力fx=0,fy=ρg的作用。试用位移法求解此问题。 解:将这个问题简化为一维问题处理。 设u=0,v=v(y),泊松比μ=0。代入位移表示的平衡微分方程,得: 第一式自然满足,第二式成为: 解出: * 按位移法求解平面问题(例题) 设有左图所示的杆件,在y方向的上端为固定,而下端为自由,受自重体力fx=0,fy=ρg的作用。试用位移法求解此问题。 解出: 上下边的边界条件分别要求: 将(a)式代入(b)式得:B=0, 再代入(c)式,即得: 得到解答: 1-4 应力应变关系,物理方程 将应变分量表为应力分量的函数,可称为物理方程的第一种形式。若将式(1-10)改写成应力分量表为应变分量的函数的形式,并将式(1-9)代入,可得物理方程的第二种形式: 式(1-11)可用矩阵的形式表示如下: 式(1-12)可简写为: [D]称为弹性矩阵,它完全决定于弹性常数E和 1-5 虚功原理及虚功方程 图1-8a示一平衡的杠杆,对C点写力矩平衡方程: 图1-8b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图: 综合可得: 即: 式(1-15)是以功的形式表述的。表明:图a的平衡力系在图b的位移上作功时,功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。 虚功原理 进一步分析。当杠杆处于平衡状态时, 和 这两个位移是不存在的,但是如果某种原因,例如人为地振一下让它倾斜,一定满足(1-15)式的关系。 将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理,去指导分析和计算结构。 对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体,不用考虑它是否真正发生了位移,而假想它发生了位移,(由于是假想,故称为虚位移),那么,物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理,也称虚功原理。在图1-8a中的 和 所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上,(因为它本身是平衡的,不存在位移),而是在状态(b)的位移上作的功。可见,这个位移对于状态(a)来说就是虚位移,亦即是状态(a)假象的位移。 虚功原理 必须指出,虚功原理的应用范围是有条件的,它所涉及到的两个方面,力和位移并不是随意的。对于力来讲,它必须是在位移过程中处于平衡的力系;对于位移来讲,虽然是虚位移,但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。 还要注意,当位移是在某个约束条件下发生时,则在该约束力方向的位移应为零,因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如图1-8中的反力 ,由于支点C没有位移,故 所作的虚功对于零)。反之,如图1-8中的 和 是在位移过程中作功的力,称为主动力。因此,在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力,哪些是被动力,而在写虚功方程时,只有主动力作虚功,而被动力是不作虚功的。 虚功原理与虚功方程 虚功原理表述如下: 在力的作用下处于平衡状态的体系,当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时,体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。 虚功原理用公式表示为: 这就是虚功方程,其中P和 相应的代表力和虚位移。 虚功原理----用于弹性体的情况 虚功方程(1-16)是按刚体的情况得出的,即假设图1-8的杠杆是绝对刚性,没有任何的变形,因而在方程(1-15)或(1-16)中没有内功项出现,而只有外功项。 将虚功原理用于弹性变形时,总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分,即: W = T - U ;内力功(-U)前面有一负号,是由于弹性体在变形过程中,内力是克服变形而产生的,所有内力的方向总是与变形的方向相反,所以内力功取负值。 根据虚功原理,总功等于零得: T - U = 0 外力虚功 T = 内力虚功 U 弹性力学中的虚功原理可表达为:在外力作用下处于平衡状态的弹性体,如果发生了虚位移,那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。 虚功原理----用于弹性体的情况 i点外力分量 j点外力分量 外力分量用 表示;引起的应力分量用 表示 虚功原理----用于弹性体的情况 假设发生了虚位移 虚位移分量为 用 表示;引起的虚应变分量用 表示 虚功原理----用于弹性体的情况 在虚位移发生时,外力在虚位移上的虚功是: 式中 是 的转置矩阵。
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