[理学]10-7斯托克斯公式.ppt

注 3o 斯托克斯公式是格林公式的推广 (方法2) 内容小结 本章小结 场论中的三个重要定理 斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度 第七节 第十章 一、斯托克斯公式 二、环量与旋度 一、斯托克斯公式 有向曲面?的正向边界曲线?： ?的正向与?的侧符合右手法则，如图. ?是有向曲面?的 正向边界曲线 右手法则 设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面, 如果函数 一阶连续偏导数, 则 或 定理10.8 斯托克斯公式 将斯托克斯公式分为三式 首先证明第一式. 证明思路: 第二类曲面积分 第一类曲面积分 二重积分 第二类曲线积分 第二类曲面积分 证 方向为上侧 ? 与平行 z 轴的直线 只交于一点, 注 同理可证其余二式: 三式相加可得 (2) 曲面? 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把 ? 分成与z 轴只交 在每一部分上应用斯托克 由于沿辅助曲线方向相 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 于一点的几部分, 然后相加, 斯公式, 反的两个曲线积分相加刚好抵消, 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. 1o 斯托克斯公式的实质: 2o 斯托克斯公式便于记忆的形式: 或 cos? cos? cos? dS 斯托克斯公式 格林公式 特殊情形 ?是xOy面上的有向闭区域时 x y z O ? ?= L x y z O ? ?= L D 这正是格林公式. 4°何时采用斯托克斯公式？ 的积分曲线?的参数方程不易写出，或用直接法计算较繁时，可考虑用斯托克斯公式. 在斯托克斯公式中，?是以?为边界的任意分片光滑曲面(只要P，Q，R在包含?的一个空间区域内具有一阶连续的偏导数即可). 5o 如何选取? ？ 通常，取?为平面或球面等法向量的方向余弦易求的曲面. 利用斯托克斯公式计算 例1 其中?为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形 的整个边界, 它的正方向与这个三角形上侧的法向 量之间符合右手规则. 记三角形域为?, 取上侧, 解 利用轮换对称性 利用斯托克斯公式计算曲线积分 例2 解 ?为柱面 与平面 y = z 的交线从 z 轴正向看为顺时针, 计算 解(方法1) 则其法线方向余弦 例3 设?为平面 z = y 上被 ? 所围椭圆域且 取下侧, 将?： 参数化： 二、环量与旋度 定义 向量场 称为 注 改变Γ的环行方向时,环量要变号. 1. 环量 为 定义 当函数 一阶连续偏导数时, 称向量 2. 旋度 由哈密尔顿算符的定义 注 3o 利用旋度, 可将斯托克斯公式写为 4o 斯托克斯公式的物理解释: 等于向量 1o 2o 1. 斯托克斯公式 梯度: 散度: 旋度: 则 1. 场论中的三个重要概念