[理学]1-4线性映射与线性变换.ppt

哈尔滨工程大学理学院应用数学系 证：由已知有 又 由于 线性无关，所以 4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系 定理 设线性空间V的线性变换　在两组基　　　　　 (Ⅱ) (Ⅰ) 下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡 矩阵矩阵是P，则 证 由定理假设, 有 =( )P, P可逆; T( )=( )A, T = B, 于是: B = T = [T( )]P = ( )A P =( ) P-1 A P, 因为 线性无关,所以: B=P-1 A P 线性变换在不同基下的矩阵是相似的， 看作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.　 反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以 练: 在线性空间 　中，线性变换　定义如下：　 （1）求 在标准基　　 下的矩阵. （2）求　在　　　　下的矩阵. 解：（1）由已知，有 自然基底 设 在标准基　　 下的矩阵为A，即 即： 为过渡矩阵 因而， * Department of Mathematics Department of Mathematics * Department of Mathematics Company LOGO Department of Mathematics Department of Mathematics * 线 性 空 间 引 论 Department of Mathematics, College of Sciences 线 性 空 间 与 线 性 映 射 第 一 章 在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称 映射，这即是本节要讨论的内容 两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性 §1.4 线性映射与线性变换 说明： （1）称 为 在映射 下的像， 为原像 （2） 若 则称 为满射 一，线性映射与线性变换 1.映射 2. 线性映射与线性变换 说明： 称 为 的值域。 若 ，则称线性映射 为线性变换。 若 , 则称 为满射. 线性映射 定义: 由数k决定的数乘变换： 事实上， 单位变换(恒等变换)： 零变换： 3. 线性映射与变换的举例 4. 线性映射的简单性质 证明: 从而 由于 由上述证明知它对 中的线 线性运算封闭， 故它是 的子空间． 证明: 则 则 (6). (7), 若 则 证明: 设 是 的基,则: 5. 线性映射的组合和复合(乘积) 线性组合 设 都是 到 的线性映射, (1)若任意的 ,均有: 则称线性映射 相等. (2)称 为线性映射 的线性组合. 线性复合 设 是 到 的线性映射, 是 到 的线 性映射,定义: 称 为线性映射 的复合. 是 到 的线性映射 说明 若 是 上的线性变换,则记: 6, 定理 设 是线性映射, 是 的子空间,则: 证明:(2) 由于: ,所以 即: 二. 线性映射下基的关系