[理学]113 格林公式.ppt

例4：求 其中，L 是以 ( a , 0 ) 为中心，a 为半径的上半圆周， 逆时针方向，m 为常数。 解： 分析：被积函数比较复杂， 无论 L 的方程取什么形式，直接 用曲线积分的方法都比较困难。 故考虑用格林公式 表达式简单 问题：L 不是封闭的曲线。 y x 0 例4：求 其中，L 是以 ( a , 0 ) 为中心，a 为半径的上半圆周， 逆时针方向，m 为常数。 补充有向线段 OA， 在 L 与 OA 所围的区域 D 上 y x 0 解： 例4：求 其中，L 是以 ( a , 0 ) 为中心，a 为半径的上半圆周， 逆时针方向，m 为常数。 y x 0 解： 在 上，y = 0 , x 从 0 变到 2a 例4：求 其中，L 是以 ( a , 0 ) 为中心，a 为半径的上半圆周， 逆时针方向，m 为常数。 y x 0 解： （1）该题用到的方法俗称 “封口法” 几点小结 （2）“ 挖洞法 ” 和 “ 封口法 ” 是格林公式应用中 两类常见的典型方法。 （3）当曲线积分中，函数 P 、Q 使得 等于零、常数或比较简单时，要考虑用格林公式。 例5 求椭圆 所围成图 形的面积 解 所求面积 作业：习题11---3: 2, 4, 6, 7 G y x o 二 、曲线积分与路径无关的定义 B A 如果在区域G内有 二、曲线积分与路径无关的条件 定理2 例 1：证明曲线积分 证明： 显然整个 xoy 面是一个单连通区域， 又 所以，由定理 2，曲线积分 在 整个 xoy 面内与路径无关； 在整个 xoy 面 内恒成立。 在整个 xoy 面内与路径无关。 它们均在整个 xoy 面内具有一阶连续偏导数。 例 2：计算曲线积分 在第一象限部分到 A ( 1 , 1 ) 的路经。 其中 L 为从点 O( 0 , 0) 沿圆周 y x 0 解： 分析：由被积函数知，直接 用曲线积分的方法比较困难。 由于 故所求曲线积分在整个 xoy 面内与路径无关， 因此考虑改变积分路径： 所以 例 2：计算曲线积分 在第一象限部分到 A ( 1 , 1 ) 的路经。 其中 L 为从点 O( 0 , 0) 沿圆周 y x 0 在 OB 上，y = 0 , 在 AB 上，x = 1, 解： 例 2：计算曲线积分 在第一象限部分到 A ( 1 , 1 ) 的路经。 其中 L 为从点 O( 0 , 0) 沿圆周 解： y x 0 解 所以积分与路径无关 y x o 改变积分路径： OC + CB 解 再由 得 C = 0 所以 解 再由 得 C = 0 y x o 计算函数 的方法 G y x o （1）沿路径 AC + CB 计算 （2）沿路径 AD + DB 计算 例3 验证 是某个函数的全微分， y x o 并求出一个这样的函数 在整个 xoy 面内恒成立， 解： 因此在整个xoy 面内， 是某个函数的全微分， 方法一：沿如图所示路径求 u (x , y) 例3 验证 是某个函数的全微分， 并求出一个这样的函数 y x o 解： （1）沿如图所示路径求 u (x , y) 例3 验证 是某个函数的全微分， 并求出一个这样的函数 解： 方法 2：设 则有 两边关于 x 求不定积分 又 而 所以 作业：习题11---3: 9, 11, 14, 15(1) 11.3 格林公式 教学要求：掌握格林公式（它的条件、结论及应用）；理解并会用平面曲线积分与路径无关的条件； 会判断Pdx+Qdy是否为全微分，并会求出u(x,y),使得du=Pdx+Qdy 10.3 格林公式 一、区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D 不含有洞的区域 含有洞的区域 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 二、格林公式 定理1 证明(1) y x o a b D c d A B C E 同理可证 y x o d D c C E 证明(2) D 两式相加得 G D F C E A B 证明(3) 由(2)知 几点说明： （1）若 D 为复连通区域 则曲线 L 应包括内外所有边界 并且它们对 D 均取正向。 （2）格林公式建立了平面上的曲线积分与二重积分 的关系，它是牛顿莱布尼茨公式在平面上的推广。 主要用途：实现曲线积分与二重积分之间的转换，而 经常用来将复杂的曲线积分转化为二重积分。 （3）若取 则有 同理，若取 则有 若取 则有 三、简单应用 1. 简化曲线积分 x y o A B 解：方法 1，用曲线积分法 起点 A， 终点 B， x y o A B 解：方法 2 ：用格林公