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[理学]12数列极限
函数与极限 第二节 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四、数列极限的性质 2.唯一性 3. 收敛数列的保号性. 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 五.小结 作业 P30-31 .1,3,4. 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意: 几何解释: 其中 注意:数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 例2 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N. 例3 证 例4 证 1.有界性 例如, 有界 无界 定理1 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意:有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 定理2. 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. 若 且 时, 有 证: 对 a 0 , 取 推论: 若数列从某项起 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ********************* 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 例如, 发散 ! 则原数列一定发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性,唯一性.保号性. 证明 要使 只要使 从而由 得 取 当 时,必有 成立 * * 三 、收敛数列的性质 四 、小结 一、概念的引入 二、数列极限的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限 “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术: 播放 ——刘徽 1、割圆术: “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 一、概念的引入 1、割圆术: “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术: ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术: ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术: ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术: ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术: ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术: ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术: ——刘徽 一、概念的引入 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 2、截丈问题: “一尺之棰,日截其半,万世不竭” 例如 注意: 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 播放 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过上面演示实验的观察: * *
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