[理学]15-第15讲导数概念.ppt

* 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第十五讲 导数的概念 第四章 一元函数的导数与微分 本章学习要求： 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。 第一节 导数的概念 第四章 一元函数的导数与微分 一.导数产生的背景 二.导数的概念 三.导数存在的必要条件 四. 函数的增量与导数的关系 一.导数产生的背景 1. 物理背景 2. 几何背景 1.物理背景 在真空中, 当时间由t 变到t+?t 时, 自由 非匀速运动物体的速度问题 落体所经过的路程为 例1 物体由 t 到 t + ?t 一段的平均速度是 求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt , 就是 令 ?t?0 的极限过程： 从物理学看, 当?t?0 时, 应该有 这是否也说明了一个什么问题? P l ?l 力学中的线密度问题 设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量. 直线的一端为原点 , 线段 OP 的长度为 l, 质量为 m, 则 m 是 l 的函数：m = f (l ). 求点 P 处的线密度 ? . 例2 O 给 l 一个增量 ?l, 则 ?l 这一段 ( PP ) 的平均密度是 而在 P 点处的线密度就是 ?l ? 0 平均密度的极限： 比较两个极限式： 与 平面曲线上切线的概念 割线PQ 切线PT 切点 2. 数学背景 — 平面曲线的切线问题 沿曲线趋近于点 A 时的极限位置. 平面曲线 y = f (x) 的切线： 曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上 点 A 的任意一条割线 AA’ 当点 A’(x0+?x, y0+ ?y) 定义 切线方程: 其中, (1) 建立一个函数关系 y = f (x) x?I . (2) 求函数由 x0 到 x0+ ?x 的平均变化率： 解决与速度变化或变化率相关问题的步骤: (3) 求 ?x ? 0 的极限： 小结 二.导数的概念 设函数 f (x) 在 U(x0) 有定义, 且 x0+?x ? U(x0). 则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在 如果极限 存在, 点 x0 处的导数. 记为 定义 1. 导数的定义 k ? 0为常数. 如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则 设函数 f (x) 在 [x0 , x0+? ) 内有定义, 若 存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为 2.左、右导数 定义 设函数 f (x) 在 (x0 – ? , x0] 内有定义, 若 存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为 定义 定理 好像见过面啊！ 3. 导函数 若 ? x?(a, b), 函数 f (x) 皆可导, 则说 f (x) 在 (a, b) 内可导. 这时 f ?(x) 是关于 x 的一个新函数, 称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之 为 f (x) 在 (a, b) 内的导数： 定义 函数在点 x0? I 处的导数: 若 f (x) 在 (a, b) 内可导, 且 存在, 则称 f (x )在 [a, b] 上可导, f ?(x) 称为 f (x) 在 [a, b] 上 的导函数, 简称为导数. 先求导、后代值. 定义 4.导数的几何意义 此时, 切线方程为: 函数 f (x) 在点 x0 的导数 f ?( x0) 就是对应的平面 曲线 y = f (x) 在点 (x0, y0) 处的切线的斜率 k : y O x x0 y = c f ?(x0) = 0 y O x f ?(x0) = ? x0 O x y x0 y O x x0 f ?(x0)不存在 f ?(x0)不存在 切线平行于x 轴： 曲线 y = f (x) 在点 x0 处的切线可能平