[理学]13结构动力学-4多自.ppt

§13-7 多自由度体系的自由振动 2、列振型方程 3、列频率方程并求频率 4、求振型作振型图 分别将λ1λ2代入振型方程 例8：P248 例13-20试用刚度法求自振频率和振型 1、求刚度系数 2、列振型方程 3、列频率方程并求频率 4、求振型作振型图 分别将λ1λ2代入振型方程 y1 yi yn ri 动平衡方程： ri y1 yi yn ri 应满足刚度方程 kij是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零） 时在点i所需施加的力。 .. .. 二、刚度法 （二）n个自由度的体系 1、建立振动微分方程 2、振型方程 .. .. .. 3、频率方程和自振频率 4、振型方程的解----主振型 主振型向量 主振型向量 主振型向量 利用刚度法的方程间接导出柔度法方程： 由刚度法振幅方程： ( [K]－ω2 [M] ){A}=｛0｝ 前乘[K]－1=[F]后得： ( [I ]－ω2 [F] [M] ){A}=｛0｝ 令λ=1/ω2 ( [F] [M] － λ [I ] ){A}=｛0｝ 得频率方程： ┃ ([F] [M] － λ [I ]) ┃=0 其展开式: 是关于λ的n次代 数方程,先求出λi 再求出频率ωi 将λi代入 ( [F] [M] － λi [I ] ){A(i)}=｛0｝ 可求出n个主振型. 可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当 计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的 刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。 例9 P253例13-22： 质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。 k11=4k 解：1）求刚度系数： 2m 2m m 3k k21=-k k31=0 k12=-k k22=2k k32=-k 1 k13=0 k23=-k k33=k 刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]： 1 1 解得：λ1=0.209， λ 2=1， λ 3=1.791 2）求频率：代入频率方程： ┃[K]－ω2 [M]┃＝0 3）求主振型：振型方程：（[K]－ω2 [M]）{A}＝0的前两式： （令A1i=1） 4 3.1623 1 1 0 1 4 3.1623 1 Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。 m1 m2 A11 A21 m1 m2 A12 Y22 主振型的位移幅值恰好 为相应惯性力幅值产生 的静力位移。 对这两种静力平衡状态 应用功的互等定理： 主振型之间的 第一正交关系 §13-8 主振型的正交性 {A}iT[M] {A}j=0 {A}jT[K] {A}i=ω2i {A}jT [M] {A}i （左乘{A}jT） 第一正交关系：相对于质量矩阵[M]来说，不同频率相应的 主振型彼此是正交的; 第二正交关系：相对于刚度矩阵[K]来说，不同频率相应的 主振型彼此是正交的; 如同一主振型 定义： Mi 广义质量 Ki 广义刚度 所以： 由广义刚度和广义质量求频率的公式。 是单自由度体系频率公式的推广。 [K] {A}i=ωi2 [M] {A}i 由振幅方程： ( [K]－ω2 [M] ){A}=｛0｝ 主振型之间的第二正交关系 * 很多结构的振动问题不能按单自由度体系计算，如多层房屋的侧向振动，不等高排架的振动，柔性较大的高耸的结构在地震作用下的振动等，都应按多自由度体系计算。 一、柔度法 （一）两个自由度的体系 1、建立振动微分方程 2、振型方程 3、频率方程和自振频率 4、振型方程的解----主振型 （二）n个自由度的体系 1、建立振动微分方程 2、振型方程 3、频率方程和自振频率 4、振型方程的解----主振型 二、刚度法 （一）两个自由度的体系 1、建立振动微分方程 2、振型方程 3、频率方程和自振频率 4、振型方程的解----主振型 （二）n个自由度的体系 1、建立振动微分方程 2、振型方程 3、频率方程和自振频率 4、振型方程的解----主振型 一、柔度法 y1(t) y2(t) 1、建立振动微分方程：（建立位移协调方程） m1、m2的位移y1(t)、 y2(t)应等于体系在当时惯性力 共同作用下所产生的位移。 .. .. .. .. .. .. （13-87） f11 f21 P1=1 f12 f22 P2=1 （一）两个自由度的体系 2、振型方程 设微分方程组的特解的形式与单自由度体系自由振动的解一样，为简谐振动。 则 代入 得 整