[理学]18、第五章晶体中电子能带理论-布洛赫波函数.ppt

首先证明晶体波函数应具有的性质，即波函数是非简并的情形，不会有两个或两个以上的函数对应于同一能量。为此 微分算符中变量改变一常矢量不影响结果。 　　在上面的讨论中，均假设晶体是无限的。 上式表明，k的量纲为长度量纲的倒数，因此可用倒空间内的点代表。 可以认为，Bloch函数中，行进波因子描述晶体中电子的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动； 而周期函数因子则描述电子的原子内运动，取决于原子内电子的势场。 从能量的角度看，如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子的能量取分立的能级；若电子只有共 有化运动（自由电子情况），电子的能量连续取值。由于晶体中电子的运动介于自由电子与孤立原子之间，既 有共有化运动也有原子内运动，因此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带相间组成的能带结构。 需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这是由于人们对固体性质的研究首 先是从晶态固体开始的。而周期性势场的引入也使问题得以简化，从而使理论研究工作容易进行。所以，晶态固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，现已证实，在非晶固体中，电子同样有能带结构。 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子 聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条件。 双曲正弦，双曲余弦 双曲正弦，双曲余弦 能带论中另一个值得介绍之处是对于费米面的认识。贝特在利用布洛赫的理论研究电子在布里渊区中的填充情况时首先提出了费米面的概念，当时称为“波数空间的等能面”。从那以后，人们开始认识到费米面是一种真实存在的物理实体，通过在其附近电子对固体一些重要物理性质的决定性作用，认识了费米面的重要性。 平面波因子表明在晶体中运动的电子已不再局域于某个原子周围，而是可以在整个晶体中运动的，这种 电子称为共有化电子。它的运动具有类似行进平面波的形式。那么，周期函数的作用则是对这个波的 振幅进行调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性 当平移晶格矢量R时，同一能量本征值的波函数只增加相位因子 设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2和N3分别是沿a1，a2和a3方向的原胞 数，，即晶体的总原胞数为N＝N1N2N3 周期场近似(Periodic potential approximation)：电子所受到的原子实和其余电子的相互作用势具有平移对称 性。即电子是在一个周期场中运动。 Page * 　　把布洛赫定理（3）式用于（4）式，得 这要求 （8）式代入（7）式，并利用正格子、倒格子基矢间的正交关系 将波矢k用相应的倒格子基矢表示，即 　　 §5.1 布洛赫波函数 Page * 得 　　 §5.1 布洛赫波函数 即许可的布洛赫波矢k可看成是在倒格子空间中，以 为基矢的 布拉菲格子的格矢。 　　每个许可的k值由上述布拉菲格子的格点表示。在k空间中所占的体积 Page * 是倒格矢原胞的体积，因此， 倒格子空间一个原胞中许可的k的数目等于实空间中晶体的总原胞数N。 　　倒格矢原胞的体积为 这样，k空间中许可态的态密度为 　　 §5.1 布洛赫波函数 Page * 　　 §5.2 克龙尼克－潘纳势 　　晶格的周期性势场是由位于格点处的原子产生的，因此可将其表示为原子势之和（如图）： 代表位于距原点na处的原子势，如为复式格子，则代表基 产生的势，即基中所有原子势的总和。对于如图所示的势场，求解薛定谔方程 仍然是困难的。 Page * 一、 克龙尼克－潘纳势 　　为了求解薛定谔方程，克龙尼克－潘纳提出了一个晶体势场的模型，即由一串等深等宽势阱组成的周期性势场（如图），称为克龙尼克－潘纳势。　　用方势阱－－－－近似地模拟单原子势　 由此可求解薛定谔方程： 　　 §5.2 克龙尼克－潘纳势 Page * 下面求解方程（4）的解： 1、在区域 势能V＝0 取 （4）式可写为 　　 §5.2 克龙尼克－潘纳势 Page * （5）式是二阶常系数微分方程，其特征方程为 　　 §5.2 克龙尼克－潘纳势 故（5）式的解为 Page * 因为周期性 因此有 　　 §5.2 克龙尼克－潘纳势 Page * 2、在区域 势能V＝V0＞E （4）式写为 其中 同理，（9）式的解为 　　 §5.2 克龙尼克－潘纳势 Page * 同理，（9）式的解为 利用周期性 　　 §5.2 克龙尼克－潘纳势 有 Page * 根据在 处函数 的连续性，即 可得如下四个方程： 　　 §5.2 克龙尼克－潘纳势 Page * 要使波函数有异于零的解的条件是线性联立方程组（14）中的系数行列式应为零，即 　　 §5.2