[理学]2-第八章 数学物理方法.ppt

求下列定解问题 2 求w(x,t)定解问题 解：1. * * * 或 (0xl，t0) 本征函数 本征值 本征值问题 边界条件 泛定方程 基本思路：级数展开的基本函数是相应齐次方程在齐次边界条件下的本征函数 定解问题： §8.2 非齐次振动方程和输送方程 傅立叶级数法 (1)、根据方程的线性，将解设为分离变量形式的解： (2)、根据边界条件，将X(x)形式写出满足边界条件的函数形式 非齐次振动方程 齐次边界条件 (3)、构成满足边界条件，给出需待定Tn(t)的级数解： (4)、将级数解代入偏微分方程中 将f(x,t) 展为同样级数形式 (5)、整理，给出Tn(t)满足的常微分方程 (6)、将级数解 代入初始条件 (7)、求Tn(t)常微分方程在初始条件下的解， ?(x)及ψ(x)展为同样级数形式 并求 ?n及ψn为傅里叶正弦系数 例1 求解定解问题：（以一维弦振动为例） 二、应用举例： 解： 本征函数为 代入非齐次方程，得 级数解 得到关于Tn(t)的常微分方程： 非齐次线性微分方程 齐次线性微分方程 本身是傅里叶余弦级数，只有n=1项 接下来求关于Tn(t)常微分方程的初始条件 ?n及ψn为傅里叶余弦系数 这就是关于Tn(t)常微分方程的初始条件 与关于Tn(t)的常微分方程联立，求解Tn(t) 级数解 代入初始条件 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 代入可得其解 例2 本征函数集为 代入非齐次方程，得 级数解 级数展开 其中 ？ 一阶线性非齐次微分分方程 代入初始条件 级数展开 其中 代入 例3 分布方程 代入非齐次方程 代入y的边界条件 联立(1)、(2)式 （二）冲量定理法 利用方程和边界条件，仿照P143 例题，用分离变量法解出一般解 仿照P143 例题，用分离变量法容易写出一般解：P146 系数An、Bn由初始条件决定 对定解问题 可令 u=uI+uII 线性 线性 叠加原理 分离变量法 冲量定理法 §8.3 非齐次边界条件的处理 一般处理方法 定解问题： 先将非齐次边界条件齐次化： 适当选择v(x,t)，使之满足 w(x,t)当然就一定满足齐次边界条件 代入 边界条件齐次