[理学]2-第八章 数学物理方法.ppt

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[理学]2-第八章 数学物理方法

求下列定解问题 2 求w(x,t)定解问题 解:1. * * * 或 (0xl,t0) 本征函数 本征值 本征值问题 边界条件 泛定方程 基本思路:级数展开的基本函数是相应齐次方程在齐次边界条件下的本征函数 定解问题: §8.2 非齐次振动方程和输送方程 傅立叶级数法 (1)、根据方程的线性,将解设为分离变量形式的解: (2)、根据边界条件,将X(x)形式写出满足边界条件的函数形式 非齐次振动方程 齐次边界条件 (3)、构成满足边界条件,给出需待定Tn(t)的级数解: (4)、将级数解代入偏微分方程中 将f(x,t) 展为同样级数形式 (5)、整理,给出Tn(t)满足的常微分方程 (6)、将级数解 代入初始条件 (7)、求Tn(t)常微分方程在初始条件下的解, ?(x)及ψ(x)展为同样级数形式 并求 ?n及ψn为傅里叶正弦系数 例1 求解定解问题:(以一维弦振动为例) 二、应用举例: 解: 本征函数为 代入非齐次方程,得 级数解 得到关于Tn(t)的常微分方程: 非齐次线性微分方程 齐次线性微分方程 本身是傅里叶余弦级数,只有n=1项 接下来求关于Tn(t)常微分方程的初始条件 ?n及ψn为傅里叶余弦系数 这就是关于Tn(t)常微分方程的初始条件 与关于Tn(t)的常微分方程联立,求解Tn(t) 级数解 代入初始条件 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 代入可得其解 例2 本征函数集为 代入非齐次方程,得 级数解 级数展开 其中 ? 一阶线性非齐次微分分方程 代入初始条件 级数展开 其中 代入 例3 分布方程 代入非齐次方程 代入y的边界条件 联立(1)、(2)式 (二)冲量定理法 利用方程和边界条件,仿照P143 例题,用分离变量法解出一般解 仿照P143 例题,用分离变量法容易写出一般解:P146 系数An、Bn由初始条件决定 对定解问题 可令 u=uI+uII 线性 线性 叠加原理 分离变量法 冲量定理法 §8.3 非齐次边界条件的处理 一般处理方法 定解问题: 先将非齐次边界条件齐次化: 适当选择v(x,t),使之满足 w(x,t)当然就一定满足齐次边界条件 代入 边界条件齐次

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