[理学]2011年考研数学概率预测统计量的基本概念.ppt

求导可得 当 y0 时, 例5：设 X 具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。 解：设Y 和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x), 注意到 Y=X2 ≥0，故当 y≤0时，FY(y)=0； 则 Y=X2 的概率密度为： 若X ～ U（1, 4）,即 例6：设随机变量X在 (0,1) 上服从均匀分布，求 Y=-2ln X 的概率密度。 解：在区间 (0, 1) 上，函数 ln x 0， 故 y = -2ln x 0, 于是 y = -2ln x 在区间 (0,1) 上单调下降， 有反函数 由前述定理，得 注意取 绝对值 已知 X 在 (0,1) 上服从均匀分布， 代入 的表达式中 得 即Y 服从参数为1/2的指数分布。 1. 二维离散型随机向量的联合分布函数 设二维离散型随机向量 (X, Y) 的联合分布律为 pij， i=1, 2, ?, j=1, 2, ? . 于是, (X, Y) 的联合分布函数为 第三章 概率密度 设二维随机向量(X, Y)的联合分布函数为F(x, y)，如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y, 有 则称(X,Y)为二维连续型随机向量,f(x,y)为(X,Y)的概率密度函数, 简称概率密度。. 2. 二维连续型随机向量 则 X 的边缘概率分布为 Y 的边缘概率分布为 设(X, Y ) 是二维离散型随机向量，联合概率分布为 3 二维离散型随机向量的边缘分布 4 连续型随机向量的边缘概率密度 若 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y)，则 X的边缘概率密度为 Y 的边缘概率密度为 5 随机变量的独立性 设 X, Y是两个随机变量, 对任意的 x, y, 若 则称 X与Y 相互独立。用联合分布函数与边缘分布函数表示上式, 就是 其中 是(X,Y)的联合密度， 若 (X,Y) 是连续型随机向量 ，上述独立性定义等价于：对任意 x, y∈ R, 有 分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 。 几乎总成立, 则称X与Y相互独立 。 若 (X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性定义等价于：对(X,Y) 所有可能取值 (xi , yj), 有 成立，则称 X与Y 相互独立。 例1：设(X, Y)的概率密度为 求 (1). c的值; (2). 边缘密度。 = 5c/24=1, c = 24/5; 解: (1). 解: (2) 注意积分限 注意取值范围 注意积分限 注意取值范围 即 解: 对一切 x, y∈R , 均有 f (x, y)=f X(x) f Y(y). 故，X与Y相互独立。 例2： 设(X,Y) 的概率密度为 问(1)P(0X1, 0Y1), (2)X与Y是否独立？ (2) 解： 由于存在面积不为零的区域 D，使得 故，X与Y不相互独立 。 例3：若(X,Y)的概率密度为 问X与Y是否独立？ 概率论与数理统计总复习1讲 主讲教师：杨勇 佛山科学技术学院数学系 1. 学会使用简单事件表示复杂事件 第一章 例如：设A，B，C 为三个事件，用它们表示下列事件： （1） A，B，C 中至少有一个发生； A∪B ∪C （2） A，B，C 同时发生； ABC （3） A不发生； 2. 常用公式 P( )= P(A-B)=P(A)－P(AB) （4）加法公式 若P(B)0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B)； 若 P(A)0，则P(AB)=P(A)P(B|A) ； （5）乘法公式 （6）条件概率 设A、B是两个事件。 若P(B)0，则 若P(A)0，则 （7）独立性 相互独立 或 解： 解： 例3： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。 故, P(AB) = P(A)P(B). 解：由于 P(A) = 4/52 = 1/13, 这说明事件A, B独立。 问事件A, B是否独立？ P(AB) = 2/52 = 1/26。 P(B) = 26/52 = 1/2， 例4: 三人独立地去破译一份密码, 已知每个人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：将三人分别编号为1, 2, 3， 故，所求为 P(A1∪A2∪A3)。 记 Ai = {第i个人破译出密码} ， i=1, 2, 3。 已知 P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4，且 P(A1∪A2∪A3) A1，A2，A3相互独立， 例5：8支