[理学]21 分离变量法齐次方程齐次边界条件.ppt

中最小的一个 称为基频， 拉普拉斯方程 矩形区域问题 圆形区域问题 常用本征方程 周期边界条件 拉普拉斯方程 圆形区域 定解问题 未知函数分离 泛定方程分离 自然边界条件 分离结果 固有值问题求解 固有值 固有函数 拉普拉斯方程 圆形区域 径向方程求解 分离解 叠加 边界条件要求 §2.2、一般格式、固有值问题 2.2.1 一般格式和问题 第一步，分离变量。 第二步，解固有值问题，得分离变量形状特解。 第三步，叠加定系数。 固有值是否存在； 如果存在的话，固有函数系是否正交。 2.2.2 固有值问题的施图姆–刘维尔(Sturm-Liouville)定理 一般的二阶齐次线性常微分方程 下面就施图姆–刘维尔(Sturm-Liouville)方程讨论固有值问题 以上称为正则的施图姆–刘维尔(Sturm-Liouville)的固有值问题。 有如下结论： 1) 可数性 2) 非负性 3) 正交性 4) 完备性 例1 解固有值问题 解： 例2 解固有值问题 解： 例(5) 研究细杆导热问题, 初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端温度为 u0，杆上温度梯度均匀, 零度的一端保持温度不变, 另一端跟外界绝热,试求细杆上温度的变化。 解 杆上温度满足下列泛定方程和定解条件 泛定方程和定解条件都是齐次的，可以应用分离变量法。 设 代入方程和边界条件得 关于 T 的方程 本征值问题 仅讨论 的情况： (i) λ 0 或＝0： 无意义 固有值 只有 相应的固有函数 关于 T 的方程 由初始条件确定系数 可以看出: t0时，随着t的增大，级数发散，无意义。 t0时，随着t 的增大级数解收敛得很快, t 越大, 级数收敛越快。 t→∞时，u(x,t) →0，即细杆内的温度从开始时的分布趋向于均匀的零摄氏度，热量从左端一处，体系从热力学非平衡态趋向于热力学平衡态。 答案 例(6) 一长度为l的均匀细杆，其侧面与左右两端都保持绝热，杆内初始时刻的温度分布是不均匀的，求杆内温度随时间的变化。 解： 分离变量流程图 常用本征方程 齐次边界条件 三 稳定场方程(拉普拉斯方程)的定解问题 1 直角坐标系下的拉普拉斯问题 解： 拉普拉斯方程 矩形区域 定解问题 未知函数分离 泛定方程分离 X边界条件分离 分离解 叠加 Y边界条件要求 2 圆域内的拉普拉斯问题 例9 圆柱体稳态温度分布 解：(1)设 欧拉方程 (2)解固有值问题 1） 2） 3） 欧拉方程 令 级数解： 例10 求下列定解问题 解： 欧拉方程 令 其它为零 例12 求下列定解问题 解： 欧拉方程 其他为零 数学物理方程与特殊函数 第2章分离变量法 第二章 分离变量法 §2.1、分离变量法的基本思想和解题步骤 有界弦的自由振动、圆柱体稳态温度分布 §2.2、一般格式、固有值问题 §2.3、非齐次问、非齐次方程的解法、 非齐次边界条件的处理 §2.4、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论 基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。 适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等 特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。 令 代入方程： 令 代入边界条件 一 求两端固定的弦自由振动的规律 §2.1 、分离变量法的基本思想和解题步骤 特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题 特征（固有）值：使方程有非零解的常数值 特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解 分情况讨论： 1） 2） 3） 二阶常系数微分方程： 特征方程： 根的三种情况： 得常系数微分方程的通解： 附录: ?分离变量 ?求特征值和特征函数 ?求另一个函数 ?求通解 ?确定常数 分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 2 解的性质 x=x0时： 其中： 这表示在任意一点 处都作简谐振动。 t=t0时： 这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波， 其振幅 随不同的时间 而不同。 振幅: 频率: 初位相: 波节: 波腹: 驻波法 于是我们可以说u(x,t)是由一系列频率不同(成倍增长)、位相不同、振幅不同的(固有振动)驻波叠加而成的。所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相的差异，由初始条件决定，而频率(nπa)/l与初始条件无关，所以也称为弦的固有频率。 相应的 称为基波． 称为谐频， 相应的 称为谐波。 基波的作用往往最显著． 第一步: 分离变量。令 适合方程和边界