[理学]21 线性代数.ppt

矩阵 矩阵：西尔维斯特为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明的这个术语。 矩阵论的创立者——凯莱， 把矩阵作为一个独立地数学概念； 1858年，著作《矩阵论的研究报告》：系统阐述了关于矩阵的理论——矩阵的相等、运算法则、转置及逆、矩阵加法的可交换性，可结合性、方阵的特征方程和特征根（特征值）。 矩阵的作用 （1）、能把头绪纷繁的事物按一定的规则清晰地展现出来。 （2）能恰当地刻画事物之间的内在联系，并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。 一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 矩阵的运算 一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的其它运算 三、小结 所以对于任意的 都有 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例 １、转置矩阵 转置矩阵的运算性质 例4 已知 解法1 解法2 2、方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质 3、对称阵与伴随矩阵 定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 说明 定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 性质 证明 则 称为矩阵 的伴随矩阵. 1. 线性方程组 的解取决于 系数 常数项 对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B. 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 发站 到站 其中 表示有航班. 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表: 这个数表反映了四城市间交通联接情况. 由 个数 排成的 行 列的数表 称为 矩阵.简称 矩阵. 记作 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 主对角线 副对角线 通常用大写字母A,B,C,…表示. 例如 是一个 实矩阵, 是一个 复矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵. 例如 是一个3 阶方阵. 几种特殊矩阵 (2)只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量). 行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶 方阵.也可记作 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量). 称为对角 矩阵(或对角阵）. （3） 形如 的方阵, 不全为0 （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 . 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如 记作 (5)方阵 称为单位矩阵（或单位阵）. 全为1 (6)上三角阵 称为n阶上三角阵. 不全为0 (7)下三角阵 称为n阶下三角阵. 不全为0 2.两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即 则称矩阵 相等,记作 例如 为同型矩阵. 同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵. １、定义 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如 2、 矩阵加法的运算规律 1、定义 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. （设 为 矩阵， 为数） １、定义 并把此乘积记作 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 例１ 设 例2 故 解 注意　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. ２、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即