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[理学]23变分法模型

2.2 变分法模型 2.2.1 最速降线问题 分析与建模 评 注 历史上,伯努利解决最速降线问题是从一个似乎不相干的光学问题开始的,借助于史奈尔折射定律、能量守恒原理及几何关系(即光学、力学和微积分等知识)得到了前面的(2.2.2)式。我们也称(2.2.2)式为最速降线的数学模型:微分方程模型。 比较两个模型的的建模过程,我们可以看到,伯努利对最速降线问题的解法非常奇妙,表现出了惊人的想象能力,可以说是一项水平极高的的艺术工作,而变分法则提供了一种处理这类问题的通用分析方法。 2.2.2 机器设备的保养和更新优化模型 问题与背景 在各类企业中,每天都有大量的机器设备不停地运转。为保证其正常工作,需要经常进行保养和维修。在各类化工企业中就更是如此,各种设备运行的连续监测,小到阀门的更换,大到停产检修,不仅直接关系到企业的经济效益,同时也关系到国家财产和人民生命的安全问题,这显然是一个既十分重大又非常复杂的系统工程问题。 这里仅考虑如下的简单情形:当机器设备经过长期使用,失去保养价值时,及时更换新的机器设备,而换下来的旧设备转卖做他用。即如何确定机器设备的最优保养费用和转卖时间(或称寿命期,设在寿命期内,机器设备一直投入运转),从而使机器设备的经济效益最高。 假设与建模 模型求解 数值例子 2.2.3生产与贮存的控制 问题与背景 一个集生产、销售于一体的公司,希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设定的水平上。如果销售量可以准确地预测,公司需要制订一个根据贮存量控制生产率的策略。 假设与建模 模型求解 2.2.4 变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的数学方法。本节就变分法的基础知识作简要介绍,需要深入了解的读者可阅读有关专著。 变分法的基本概念 泛函极值的必要条件—欧拉方程 条件极值 哈密尔顿()函数 习 题 参考文献 叶其孝. 大学生数学建模竞赛辅导教材(二).长沙:湖南教育出版社, 1997 姜启源. 数学模型 . 北京:高等教育出版社,1993 任善强. 数学模型 . 重庆:重庆大学出版社,1998 (美)G.F.赛蒙斯 . 微分方程 . 北京:人民教育出版社,1981 E.A.本德 . 数学模型引论 . 北京:科学普及出版社,1982 湛安琦 . 科技工程中的数学模型 . 北 京:中国铁道出版社,1988 李心灿 . 高等数学应用205例 . 北京:高等教育出版社,1997 陈义华 . 数学模型 . 重庆:重庆大学出版社,1995 林珍 . 变分法与最优控制 . 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1987 彭旭麟 . 变分法及其应用 . 武汉:华中工学院出版社,1983 3. 设质点以速度 从 沿曲 线 移动到 ,求曲线 为何形状时质点移动时间最少? 4. 求过边界为两定点的曲线,使之绕横轴旋转而得面积为最小的旋转曲面。 5. 对于生产与贮存的控制问题,用条件极值和哈密尔顿函数方法直接求(2.3.1)、(2.3.2)与(2.3.4)的解(仍假设 )。 在高等数学中,大家已经学会了如何确定某一函数的极值问题,看到了其应用的广泛性。在许多工程实际问题中,我们还常常需要求另一类特殊的量即函数的函数极值问题。通常将函数的函数称为泛函。 例如大家已熟悉的: ( 1 ) 连接平面两点 ) , ( 0 0 y x A 、 ) , ( 1 1 y x B 的曲线 ) ( x y=y 的弧长 L 是一个泛函。 即 L 是曲线 的函数。 ( 2 ) 曲面 ) , ( : y x z Z = ∑ 的面积 S 也是一个泛函。 其中 D 为 ∑ 在 xoy 面上的投影区域。即 S 是曲面 ) , ( y x z z = 的函数。 ) ( x y=y 求泛函的极值问题叫做变分问题。变 分法就是研究变分问题的学科,其自十七 世纪以来逐渐发展起来,欧拉是这门学科的创始人。变分方法在现代数值分析中起着重要的作用,并且随着现代控制论的产生与发展,作为其基本理论的变分法,日益显示出它的重要作用,它已成为现代科学技术领域中必不可少的应用数学分支。本章先来介绍几个有关变分法的数学模型,它的基础知识在最后一节中作简要介绍。 问题与背景

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