[理学]23变分法模型.ppt

2.2 变分法模型 2.2.1 最速降线问题 分析与建模 评 注 历史上，伯努利解决最速降线问题是从一个似乎不相干的光学问题开始的，借助于史奈尔折射定律、能量守恒原理及几何关系（即光学、力学和微积分等知识）得到了前面的（2.2.2）式。我们也称（2.2.2）式为最速降线的数学模型：微分方程模型。 比较两个模型的的建模过程，我们可以看到，伯努利对最速降线问题的解法非常奇妙，表现出了惊人的想象能力，可以说是一项水平极高的的艺术工作，而变分法则提供了一种处理这类问题的通用分析方法。 2.2.2 机器设备的保养和更新优化模型 问题与背景 在各类企业中，每天都有大量的机器设备不停地运转。为保证其正常工作，需要经常进行保养和维修。在各类化工企业中就更是如此，各种设备运行的连续监测，小到阀门的更换，大到停产检修，不仅直接关系到企业的经济效益，同时也关系到国家财产和人民生命的安全问题，这显然是一个既十分重大又非常复杂的系统工程问题。 这里仅考虑如下的简单情形：当机器设备经过长期使用，失去保养价值时，及时更换新的机器设备，而换下来的旧设备转卖做他用。即如何确定机器设备的最优保养费用和转卖时间（或称寿命期，设在寿命期内，机器设备一直投入运转），从而使机器设备的经济效益最高。 假设与建模 模型求解 数值例子 2.2.3生产与贮存的控制 问题与背景 一个集生产、销售于一体的公司，希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设定的水平上。如果销售量可以准确地预测，公司需要制订一个根据贮存量控制生产率的策略。 假设与建模 模型求解 2.2.4 变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的数学方法。本节就变分法的基础知识作简要介绍，需要深入了解的读者可阅读有关专著。 变分法的基本概念 泛函极值的必要条件—欧拉方程 条件极值 哈密尔顿（）函数 习 题 参考文献 叶其孝. 大学生数学建模竞赛辅导教材（二）.长沙：湖南教育出版社， 1997 姜启源. 数学模型 . 北京：高等教育出版社，1993 任善强. 数学模型 . 重庆：重庆大学出版社，1998 （美）G.F.赛蒙斯 . 微分方程 . 北京：人民教育出版社，1981 E.A.本德 . 数学模型引论 . 北京：科学普及出版社，1982 湛安琦 . 科技工程中的数学模型 . 北 京：中国铁道出版社，1988 李心灿 . 高等数学应用205例 . 北京：高等教育出版社，1997 陈义华 . 数学模型 . 重庆：重庆大学出版社，1995 林珍 . 变分法与最优控制 . 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1987 彭旭麟 . 变分法及其应用 . 武汉：华中工学院出版社，1983 3. 设质点以速度 从 沿曲 线 移动到 ，求曲线 为何形状时质点移动时间最少？ 4. 求过边界为两定点的曲线，使之绕横轴旋转而得面积为最小的旋转曲面。 5. 对于生产与贮存的控制问题，用条件极值和哈密尔顿函数方法直接求(2.3.1)、(2.3.2)与(2.3.4)的解（仍假设 ）。 在高等数学中，大家已经学会了如何确定某一函数的极值问题，看到了其应用的广泛性。在许多工程实际问题中，我们还常常需要求另一类特殊的量即函数的函数极值问题。通常将函数的函数称为泛函。 例如大家已熟悉的： （ 1 ） 连接平面两点 ) , ( 0 0 y x A 、 ) , ( 1 1 y x B 的曲线 ) ( x y＝y 的弧长 L 是一个泛函。 即 L 是曲线 的函数。 （ 2 ） 曲面 ) , ( : y x z Z ＝ ∑ 的面积 S 也是一个泛函。 其中 D 为 ∑ 在 xoy 面上的投影区域。即 S 是曲面 ) , ( y x z z ＝ 的函数。 ) ( x y＝y 求泛函的极值问题叫做变分问题。变 分法就是研究变分问题的学科，其自十七 世纪以来逐渐发展起来，欧拉是这门学科的创始人。变分方法在现代数值分析中起着重要的作用，并且随着现代控制论的产生与发展，作为其基本理论的变分法，日益显示出它的重要作用，它已成为现代科学技术领域中必不可少的应用数学分支。本章先来介绍几个有关变分法的数学模型，它的基础知识在最后一节中作简要介绍。 问题与背景