[理学]3 格林公式.ppt

曲线积分与曲面积分 §3 Green公式 区域连通性的分类 Green公式 平面曲线积分与路径无关的条件 全微分准则 一. 区域连通性的分类 二. 格林(Green)公式 D为任一区域时，结果相同： Sun. May.8 Review 三 曲线积分与路经无关的条件 四 全微分准则 四个等价命题 全微分方程 解 1.连通区域的概念; 2.二重积分与曲线积分的关系 ——格林公式 注意公式成立的条件。 可用于计算平面区域的面积。 G y x o 1 曲线积分与路径无关的定义 B A 如果在区域G内有 性质：区域G中的曲线积分 路径无关 G中任何一条封闭曲线的积分为零。 证明 在G内任取两点M0和M1，设 L1 和L2是G内从M0到M1的任意两条定向曲线，则 是G内的一条定向闭曲线，因 故得： 2 曲线积分与路径无关的条件 定理1 两条件缺一不可 有关定理的说明： 证明： 在G内 在G内的任何封闭的分段光滑曲线L1的正向上的曲线积分满足Green公式条件，因而有： 曲线积分与路经无关（由性质）。 用反证法 设在G内任一条封闭曲线L1上的积分 但存在一点M0 (x0 , y0) 使 由偏导数的连续性，必定存在以M0 为中心，r为半径的足够小的园，它所围区域为K，在K内恒有 于是 矛盾！ 如果曲线积分与路经无关，通常考虑采用平行于坐标轴的折线段为积分路径以简化计算。 解 曲线积分与路经无关 解 解 现考虑反问题： 已给全微分形式 定义 定理2 由定理1知， 称为 P(x,y)dx+Q(x,y)dy 的原函数。 求原函数的公式。 推广的Newton-Leibniz公式，或曲线积分基本定理。 解 * * Mon. May.8 Review 性质，几何意义与计算法： 特别注意方向性。性质，物理意义与计算法 注意：化定积分时积分上限不一定大于下限。 3. 两类曲线积分的关系： 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D 定理1 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 证明(1) y x o a b D c d A B C E 同理可证 y x o d D c C E 证明(2) D 两式相加得 G D F C E A B 证明(3) 由(2)知 格林公式的实质： 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系。 可用于计算平面区域的面积。 x y o L A B ? x y o 解 P，Q具有一阶连续导数， 由Green公式，有： 令 利用Green公式，挖掉原点，作以为 ?半径，原点为圆心的小园，在挖掉的区域内用Green公式。 1) 不包含原点的任意封闭曲线； 2) 以原点为中心的正向单位园； 3) 包含原点的任意正向闭曲线。 解 所给积分曲线不是封闭曲线，化定积分计算太复杂。（可试算） 加补直线AO，使L与AO构成一条封闭曲线 的反向，若设 围成区域D，则由Green公式 ： 在AO上，y=0，故dy=0，于是 证明 设L上的单位切向量 与L的正向一致， 与正x轴的夹角为 则L的外法线单位向量与x轴的夹角为 ，从而 于是 * *