[理学]4-留数定理.ppt

* o y 1 φ π π/2 如果 m0, 应改为下半平面计算，仍有上述结果。 * 例6 计算 * 例7 计算 * 类型四：实轴上有单极点的积分 其中（1）被积函数 f(x) 在实轴上有单极点 z=α， 除此之外 f(z)满足类型二或类型三【 f(z)应理解 为F(z)eimz或G(z)eimz】的条件。 即是（2）上半平面除有限个奇点（b1, b2…bn) 外解析； （3）当 z 在上半平面和实轴上??时， 一致地 |zf(z)|?0 【类型二】；或F(z) 及G(z)一 致地 ?0 【类型三】。 * 先考虑只有一个单极点 α，由于 α的存在，作如图所示积分回路。在围道内如有有限个奇点，则 ? CR C? -R R O 当R??时 第 3 部分积分为零。 * 因此问题的关键是求实轴上单极点处的积分。 ? ? C? α 如果是二阶以上的极点，第一项当??0时，发散！ * 因此原积分为 注意：实轴上的奇点只能是单极点，不能是 二阶或二阶以上极点，更不能是本性奇点。 否则，积分??（极点情形）或不存在（本性 奇点情形）。 如果实轴上有多个单极点 * 例8 计算 解 利用函数的奇偶性，原积分可化成 被积函数除了在实轴上有单极点 x=0外,满足类型三的条件，因此 即 * 由此还可以推论， 对于正的m, 对于负的m, 本节作业：第63页 第1题（1，7）； 第64页 第2题（2）；第3题（2，3）。 第四章 留数定理 已讲：一个解析函数在它的解析区域内各处的函数值有很强的内在联系。这突出表现在柯西积分公式及其推论。 本章：讨论这种关系的另一种表现形式?解析函数的积分值与函数奇点的关系。 * * §4.1 留数定理 由柯西定理，若f(z)在l内解析， ， 若f(z)在l内有奇点， 复习：如果 f(z) 是复闭通区域上的解析函数，则 重要例题结论： §4.1 留数定理 （一）留数定理 设函数f(z)在回路l所围区域 B上除有限个孤立奇点b1,b2, … ,bn外解析，在闭区域 上除 b1,b2, … ,bn外连续，则 * 其中Res f(bj)表示函数f(z)在点 bj邻域洛朗展开式中负一次幂项系数，称为函数f(z)在孤立奇点bj处的留数(residue)。 * 1、 l内有一个孤立奇点 z=z0 洛朗展式中 项的系数 a-1,称作 f(z) 在孤立奇点 z0的留数。记作Res f(z0)。 所以 * 2、 l内有n个孤立奇点 b1,b2, … ,bn 留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和． 3、无限远点的留数 计算绕无穷远的正向积分 * 将f(z)在无穷远邻域展开 即使无限远点不是奇点， Res f(∞) 也可能不为零。 4、留数和定理 若函数f(z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函数f(z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零。 * 证明： ＋ * （二）留数的计算 1、按定义 将函数f(z)在奇点z0的邻域 中展成洛朗级数： Res f(z0)= a-1 对z=∞点要反号： Res f(∞)= - a-1 例如：函数 在奇点z =0的留数（p46）。 2、可去奇点的留数 函数在可去奇点z0邻域中的洛朗级数不含负幂项，故 Res f(z0)=0 * 3、单极点留数的计算 设 z0 是 f(z) 的一阶极点 因此 特殊情形 ，P(z)和Q(z)都在z0点解析，z0是Q(z)的一阶零点， P(z0) ≠0，从而z0是f(z)的一阶极点， 则 * 4、m (m?2)阶极点留数的计算 设 z0 是 f(z) 的 m 阶极点 两边乘 , 得到： 为了求 a-1, 对上式求 m-1 阶导数： * 因此： 例1：求 在z0= 1 处的留数. 解： 另解 z0= 1是单极点 * 例2：求 的极点，以及在极点上的留数。 解： 极点 为 nπ，无穷多个单极点 例3：求 的极点，以及在极点上的留数 解： 单极点 2i, 三阶极点0 * z=2i z=0 例4：计算沿单位圆 | z |=1 的回路积分。 * 解：寻找被积函数在单位圆内的极点，即它的分母在单位圆内的零点。 在单位圆外。 * 第