[理学]4-1 数学期望.ppt

南昌大学基础数学 南昌大学基础数学 4.1数学期望 一、离散型随机变量的数学期望 常见离散型分布的期望: 1. 两点分布X～B(1, p) : 2. 二项分布X～B(n, p) : 3. 泊松分布 X～P(?): 4. 几何分布 X～G(?): 二、连续型随机变量的期望 常见连续型分布的期望: 1. 均匀分布 X～U[a,b]: 2. 指数分布: 3. 正态分布 X～N(? ,?2): 4. 柯西分布 补充：常用离散分布的数学期望 补充：常用连续分布的数学期望 三、一般场合随机变量的期望 在离散型场合 四、随机变量的函数的期望 定义4.1.4 随机向量 的数学期望为 ,其中 五、期望的性质 例6 求超几何分布的数学期望 条件数学期望 注 意 点 E(X| Y=y) 是 y 的函数. 重期望公式 设想一个相应的不放回抽样,令 它服从超几何分布,利用性质2 定义 所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y). * * 一、离散型随机变量的期望 二、连续型随机变量的期望 三、一般场合随机变量的期望 四、随机变量的函数的期望 五、期望的性质 例1 某班有N个人,其中有ni个人为ai分, i=1,2,…,k , ,求平均成绩 解: 平均成绩为: 若用X表示成绩,则 引例：甲、乙二人进行射击比赛，以X、 Y分别表示他们命中的环数，其分布列分 别为 X～ Y～ 试问谁的技术好些? 定义: 设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk (k=1,2,…),若级数 绝对收敛(即 ),则称 为X的数学期望,简称期望或均值,记为 E(X) 即 例2 已知离散型随机变量X的可能值为 x1= ?1, x2=0, x3=1,且E(X)=0.1,E(X2)=0.9 ,求对应于可能值x1, x2, x3的概率p1,p2,p3 解: p1+p2+p3=1 E(X)=(?1)?p1+0?p2+1?p3=0.1 p2 p1+p3 P 0 1 X2 ?E(X2)=0?p2+1?(p1+p3) =0.9 得: p1=0.4, p2=0.1, p3=0.5 例3 随机变量x取值 对应的概率 注意到 因此它是概率分布 1?p p P 0 1 X E(X)=0?(1?p)+1?p = p =P(A) 概率是数学期望的特例 令i=k?1,得: =np[p+(1?p)]n ?1 =np 令i=k?1,得: =?e??e? =? 定义: 设连续型随机变量X的概率密度 为p (x), 若积分 绝对收敛 (即 ), 则称积分 为X的期望,记为E(X) 即 = = 令 ,得: =? 因此,柯西分布的数学期望不存在 几何分布G(p) 的数学期望 = 1/p 0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np 泊松分布 P(?) 的数学期望 = ? 均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指数分布 Exp(?) : E(X) = 1/? 正态分布 N(?, ?2) : E(X) = ? 伽玛分布 Ga(?, ?) : E(X) = ?/? 贝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b) ----------利用Stieltjes积分来定义 在连续型场合 h =g(x ),为了求Y 的期望,可以先求h 的分布, 也可以由x 的分布来求h 的期望. 定理4.1.1 若g(x)为一元Borel函数,而h=g(x ),则 即,这两个积分中,只要一个存在,则另一个也才能在,且两者相等. (1)设X是离散型随机变量,分布律为 P{X=xk}=pk (k=1,2,…) 若 (2)设X是连续型随机变量,概率密度为 f(x),若 绝对收敛,则有: 绝对收敛,则有: 例2 设X在[0, 2 ]上服从均匀分布，若Y=sinX, 试求E(Y). 解： 推广到n维:若 的分布函数为 , 而 为n维Borel函数,则 特别的 多维场合 注：二元正态分布中的参数(m1,m2)正是 随机向量的数学期望 例3 设随机变量(X,Y)的分布律如下: 解: E(XY)=0?1?0.15+0?2?0.15 +